תמחור אופציות ריאליות, חלק ו': דוגמה מספרית נוספת (DTA)

בפוסט הקודם סקרנו כיצד יש לחשב את שוויו של פרויקט כאשר הסיכון הטמון בו הוא שיטתי במלואו, כאשר באותה דוגמה היה זה מחיר הגז שמופשע מתנודות השוק. כאשר הסיכון הוא שיטתי במלואו, אבל נכס הבסיס נע בצורה סטוכסטית, הערכת שווי הפרויקטים שואבת את המתודולוגיה שלה מזו של בלאק ושולס, כפי שראינו. כעת, נראה לסקור כיצד יש להעריך את שוויו של פרויקט כאשר הסיכון הטמון בו הוא ספציפי לחלוטין, כלומר כזה שאינו קשור כלל לשוק או לתנודות בו.

במקרים בהם הסיכון הספציפי הוא הסיכון הדומיננטי או כאשר נכס הבסיס איננו סחיר, שיטת ה-DTA תהיה השיטה האפקטיבית יותר להערכת שווי הגמישות שגלומה בפרויקט. הגמישות נובעת מיכולת ההנהלה לשלוט בסיכונים הספציפיים או בתוצאות הקשורות אליהם (שכן הם לא יכולים לשלוט בסיכוני השוק) לכן לרוב הערכת ערך הגמישות תנבע מגורם סיכון זה. יישום השיטה מורכב מארבעת השלבים הבאים:

  1. הערכת שווי הפרויקט מבלי להתחשב בגמישות האפשרית,
  2. בניית עץ התרחישים - עבור כל תרחיש, יש לחשב את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים המתאים לו. הערך הנוכחי של התזרים יהיה נכון לזמן אפס, כלומר היום. שיעור ההיוון של ההכנסות הצפויות יהיה עלות ההון המשוקללת של הפרויקט ואילו ההשקעה הראשונית תהוון באמצעות שיעור הריבית על נכס חסר סיכון מכיוון שהיא וודאית.
  3. הכללה  בעץ שבניתם את ההחלטה שצפויה להתקבל עבור כל תרחיש, ואת הערך התזרימי נטו הצפוי בעקבות ההחלטה. זהו עץ ההחלטות.
  4. פתירה מהסוף להתחלה, חשבו את שוויו של הפרויקט כאשר הנהלת החברה יכולה לפעול בהתאם למידע חדש ורלוונטי שמתקבל. ההפרש בין שווי זה לבין השווי בחושב בשלב הראשון הוא שווי הגמישות.
 
חישוב שווי הגמישות בקידוחי 'מירה' ו'שרה'

לפני שנצלול למעמקי האופציות הריאליות, נסקור בקצרה את "דרך הייסורים" שעובר כל שדה גז בטרם נהנה הלקוח הסופי מתנובתו.

שלב הבדיקות הראשוניות: ראשית,  מוגדר שטח גדול המכונה היתר, שבו מתבצעים מבחנים ססמיים ראשונים הקובעים אם קיימים מבנים תת-קרקעיים אשר עשויים להכיל גז או נפט. אם התוצאות מורות על כך שקיימות אינדיקציות חיוביות להימצאות מבנים כאלה במקום, מחלק הממונה את שטח ההיתר לרישיונות קטנים יותר, והשותפות שביצעה את המבחנים בהיתר מקבלת זכות ראשונים עליהם.

שלב הסקר התלת-ממדי: לאחר הבדיקות הראשוניות, נערכים בשטחי הרישיונות סקרים ססמיים תלת-ממדיים. הסקרים הללו נמשכים כשלושה חודשים ועיבוד ופענוח תוצאותיהם אורכים כחצי שנה נוספת. בסיום העיבוד מקבלים המשקיעים הודעה רשמית באשר ההסתברות להימצאות גז טבעי או נפט במקום, ומהי הכמות המוערכת במאגר. בשלב זה מקבלים המשקיעים שלושה אומדנים בנוגע לכמות המשאב החזויה: הכמות הקטנה ביותר שעשויה להיות במאגר (P1), הכמות שהסבירות הכי גבוהה שתימצא (P2) והכמות הגדולה ביותר שעשויה להימצא במאגר (P3).

שלב קידוח האקספלורציה: אם תוצאות הסקר משביעות רצון, מבצעות השותפות קידוח אקספלורציה (היתכנות), הבודק באופן מדויק יותר אם קיימים משאבים במבנה. לקידוח שני חלקים:

  1. מבחני לוגים חשמליים, הקובעים אם יש במקום נפט או גז.
  2. מבני הפקה הבודקים כמה נפט או גז ניתן להפיק ביום, באיזה לחץ הם יכולים לצאת החוצה ומהי איכותם.

את קידוח האקספלורציה הימי מבצעות אסדות קידוח ועלות הקידוח נאמדת בכ-100 מיליון דולרים. בתום הקידוח שוב מקבלים המשקיעים שלושה אומדנים בנוגע לכמות המשאב שבמאגר:

  1. האומדן הנמוך ביותר, הנקרא C1 (ישנה הסתברות של 90% להימצאות כמות גדולה מזו);
  2. האומדן הטוב ביותר, הנקרא C2 (ישנה הסתברות של 50% להימצאות כמות גדולה מזו);
  3. האומדן הגבוה ביותר, הנקרא C3 (ישנה הסתברות של 10% להימצאות כמות גדולה מזו).

הכדאיות הכלכלית של המאגר נעוצה כמובן בתוצאות קידוח האקספלורציה. לאחר שהוא מסתיים, צריכה החברה להחליט האם להמשיך בפיתוח המאגר או לא.

שלב התפעול השוטף: אם הוחלט שקיימת כדאיות כלכלית בפיתוח המאגר, מתחילות השותפות בבניית תשתית להפקה מסחרית. במקרה של גז, הקיים בישראל, מניחות השותפות צינורות מתכת על קרקעית הים, המובילים את הגז אל תחנת קליטה על החוף. מתחנת הקליטה ניתן למכור את הגז בצורתו הטבעית באמצעות צינורות המגיעים ישירות אל הלקוחות (בעיקר מפעלים תעשייתיים ותחנות כוח).
כעת נרצה לחשב את שווי הגמישות בקידוחי 'מירה' ו'שרה' רגע לפני ההשקעה בקידוח האקספלורציה, בהינתן מחיר גז ועלות הפקה ידועים ואי-וודאות באשר לכמות הגז שתימצא, כלומר, הסיכון הטמון בפרויקט הוא כולו ספציפי - אין קשר בין כמות הגז שתימצא וביצועי השוק באותו הזמן. לכן, נעריך את שווי הגמישות בו באמצעות שיטת עץ קבלת ההחלטות (DTA).

 שלב ראשון: חישוב הערך הנוכחי הנקי (NPV) של הפרויקט ללא גמישות

ראשית, עלינו לקבוע את ההסתברות למציאת גז בכל אחד משלבי הבדיקה. נאמר כי ישנה הסתברות של 10% לכך שקידוח האקספלורציה יניב תחזית אופטימית מאוד (מאגר בגודל 6 TCF) ו-90% לכך שהתוצאה תהיה שהתוצאות יהיו מאכזבות (מאגר ריק); תוצאות הקידוח צפויות להתקבל בעוד שנה מהיום ואם יוחלט על פיתוח המאגר, התקבולים צפויים להתקבל שנה לאחר מכן (כלומר שנתיים מהיום); עלות קידוח האקספלורציה הינה 100 מיליון דולרים; ההשקעה הראשונית הנדרשת לצורך הפקת הגז הינה מיליארד דולרים; מחירו של 1 TCF הוא 4 מיליארד דולרים, כאשר שיעור הרווחיות התפעולי עומד על 80%; קצב ההפקה הינו 0.2 TCF בשנה; שיעור ההיוון של הפרויקט הוא 8%; שיעור הריבית אותו נושא נכס חסר סיכון הוא 4%.
נחשב את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים בתרחיש האופטימי. אורך החיים של הפרויקט הינו 30 שנים (\frac{6}{0.2}=30). התקבול השנתי הינו 0.64 מיליארד דולרים 4 \times 0.2\times 0.8=0.64. הערך הנוכחי הנקי של התקבולים נכון למועד קבלת תוצאות קידוח האקספלורציה (שנה מהיום), במיליארדי דולרים, הוא:

\text{PV}_\text{Optimistic}=\frac{0.64}{0.08}\times \left(1-\frac{1}{1.08^{30}}\right)=7.205

  שווי המאגר תחת התרחיש המאכזב הוא כמובן אפס. הערך הנוכחי הנקי הסטנדרטי של הפרויקט הינו (במיליוני דולרים):

\text{Standard NPV}=-100-\frac{1,000}{1.04}+0.1\times\frac{7,205}{1.08}+0.9\times 0=-394

 

או ליתר דיוק: הפסד של 394 מיליון דולרים.

 

שלב שני: בניית עץ התרחישים

עץ התרחישים ייראה בצורה הבאה: 

 

 

 שלב שלישי: בניית עץ ההחלטות

מובן שאם קידוח האקספלורציה יניב תחזיות אופטימיות החברה תחליט להשקיע בפרויקט, ואם לא – לנטוש אותו. עץ ההחלטות ייראה אפוא כך:

 

 שלב רביעי: חישוב שווי הגמישות

על-מנת לחשב את שווי הגמישות, נחשב את שווי הפרויקט התלוי, כלומר שווי הפרויקט כאשר באפשרותנו לדחות את הפרויקט על הסף אם קידוח האקספלורציה יניב תוצאות מאכזבות:

\text{Contingent NPV}_\text{Mira&Sarah}=-100+0.1\times\left(-\frac{1,000}{1.04}+\frac{7,205}{1.08}\right)+0.9\times 0=-471

 האפשרות לפעול לאחר קבלת המידע הרלוונטי מעלה את שווי הפרויקט ל-471 מיליון דולרים, 865 מיליון דולרים יותר משווי הפרויקט ללא אותה אפשרות – זהו גם שווי הגמישות הטמונה בפרויקט:

\text{Flexibility}_\text{Mira&Sarah}=471-(-394)=865

טבלת הרגישות הבאה בוחנת את שוויו של הפרויקט תחת הסתברויות שונות לתרחיש חיובי. שימו לב כי משקיעים יכולים להשתמש במתודולוגיה הנ"ל בכדי לגלות את ההסתברות המגולמת במחירי השוק לתרחיש חיובי, ולהחליט האם קיימת הזדמנות השקעה בפרויקט מסוים.

 

שלא במפתיע, שוויו של הפרויקט עולה פלאים ככל שההסתברות למציאת גז עולה. ומה לגבי שווי הגמישות? הבה נבחן כיצד השינויים בהסתברות למציאת כמות גז גבוהה משפיעים על שווי הגמישות:

גם כאן התוצאות אינן מפתיעות; ככל שישנה הסתברות גבוהה יותר למציאת כמות גדולה של גז, האפשרות לעצור את הפרויקט שווה פחות מאחר ולא סביר שננצל אותה.

בפוסט הבא נסקור את המתודולוגיה המתאימה למקרים שבהם הסיכון בפרויקט הוא שיטתי וגם ספציפי, כפי שקורה לא מעט במציאות.

 

גרסה מעודכנת לפרק 1

בשבועות האחרונים עמלנו רבות על עדכונו של פרק 1, וכעת, אנו שמחים לבשר על השקתו המחודשת.

שימו לב לנספח שבסוף הפרק, העוסק בדיון תיאורטי אודות מודל ה-CAPM. למיטב ידיעתנו, לא קיימת סקירה ספרותית של הנושא, בעברית, הנכנסת לעומק הדברים כפי שאנחנו נכנסנו. בשבועות הקרובים נעלה את הסקירה הזו בסדרת פוסטים מיוחדת, בה נפתח דיון בנושא אם תרצו בכך.

בהצלחה בלמידה,

ערן, ניר וטל

תמחור אופציות ריאליות, חלק ה': דוגמה מספרית ראשונה (ROV)

ב-30.6.11 הודיעו בעלות השליטה בשותפויות 'מירה' ו'שרה' כי ישנה הסתברות של 54% לכך שגודל הפוטנציאל הכלכלי יעמוד על כ-6.5 טריליון רגל מעוקב (TCF) של גז טבעי; בדוגמה זו נרצה לחשב את שוויו של רישיון הקידוח אם אכן יתברר שזהו גודלו של המאגר, כלומר, הסיכון נובע כולו משינויים במחירי הגז (סיכון שיטתי). בפוסט הבא, כאשר נסקור את שיטת עץ קבלת ההחלטות, נחשב את שוויו של המאגר תוך התייחסות לכל שלבי הפיתוח של שדה גז, המדדים הרלוונטיים לאמידת גודלו והגמישות בקבלת ההחלטות שקיימת בכל שלב.

מאחר ותוקף הרישיון הוא כשנה, ואין נקודות החלטה במהלך חיי האופציה, נשתמש במודל לתמחור אופציות אירופאיות במקרה הרציף - מודל B&S-M.

שווי נכס הבסיס

שוויו של שדה הגז הוא הערך הנוכחי של סדרת תקבולים קבועים – התקבולים שתקבל השותפות מדי שנה. לשם כך עלינו להחליט על אורך הפרויקט (בשנים), גובה התקבולים ושיעור ההיוון המתאים.
מציאת אורך הפרויקט בשנים - ממוצע קצב ההפקה השנתי בעולם עומד על 0.2 TCF בשנה. כלומר, מרגע תחילת הקידוחים אורך החיים של המאגר יהיה כ-32.5 שנים: \frac{6.5}{0.2}=32.5. מכיוון שחוק הנפט מקנה למחזיקים בזכות ההפקה בלעדיות לתקופה מקסימלית של 30 שנים, זה יהיה אורך חיי הפרויקט מבחינתנו.
מציאת גובה התקבולים – מחיר הגז נקבע בחוזה אישי הנחתם בין הצרכן (ממשלות, מפעלים וכו') לבין שותפות הגז. ממוצע המחירים בשנת 2011 עמד על 4 מיליארד דולרים ליחידת TCF, והמרווח התפעולי הנהוג בענף הוא 80%. גובה התקבול השנתי אמור להיות 0.64 מיליארד דולרים:

0.2\times 4 \times 0.8=0.64 \text{ Billion dollars}

שיעור ההיוון מבוסס על עלות ההון הממוצעת בענף הגז, על פי מאגר הנתונים של פרופסור דמודרן: 8%.
הערך הנוכחי של התקבולים הללו הינו:

\frac{0.64}{0.08}\times \left(1-\frac{1}{1.08^{30}}\right) =7.205 \text{ Billion dollars}

 

תוספת המימוש

הערך הנוכחי של עלות ההפקה מוערך על ידנו בכ-1.8 מיליארד דולר. הערכה זו מתבססת על ניתוח פנימי שביצענו ומטעמי פשטות בחרנו שלא להציגו.

אורך החיים של האופציה

תוקף הרישיונות הוא עד ה- 13.7.2012. לכן, משך החיים שנקבע לאופציה הוא שנה אחת.

סטיית התקן

סטיית התקן היא סטיית התקן של מחירי הגז הטבעי. סטיית התקן הזו צריכה להתאים ליחידות הזמן בהן אנו נוקבים באורך חיי האופציה. הממוצע ההיסטורי של סטיית התקן השנתית של מחירי הגז הוא 50% בקירוב. נשים לב שאנו מניחים שבהינתן שגודל המאגר עומד על כ-6.5 טריליון רגל מעוקב (TCF) של גז טבעי, אי הוודאות היחידה שנותרה נובעת ממחירי הגז הטבעי.

שיעור התשואה על נכס חסר סיכון

נכון למועד ה 30.6.2011, התשואה לפדיון שנשאה אגרת חוב אמריקאית באורך חיים של 30 שנים הייתה 3.8%.

 

סיכום

במקרה וגודל המאגר שיתגלה הוא 6.5 TCF, השווי המתקבל עבור שדות 'מירה' ו'שרה' לפי מודל B&S-M הוא 5.5 מיליארד דולרים.

בפוסט הבא נראה כיצד לחשב את שוויו של הפרויקט כאשר הסיכון הוא ספציפי במלואו, כלומר נשתמש בשיטת ה-DTA, ובהמשך נראה כיצד ניתן לטפל בפרויקט שהסיכון בו נובע משני מקורות, ספציפי ושיטתי.

תמחור אופציות ריאליות, חלק ד': מבוא למתודולגיית התמחור

הגמישות בפוסט המבוא חולקת מאפיינים רבים עם הגמישות שמספקות אופציות למחזיקים בהן. למעשה, ניתן לחשוב על הפרויקט התלוי מתחילת הפרק כעל אופציית Call, כאשר ביצועו המותנה מקביל למימוש האופציה. במספרי אותה דוגמה, תוספת המימוש היא 10,000 ש"ח (עלות פיתוח המאגר) ומחיר נכס הבסיס הוא הערך הנוכחי של תזרימי המזומנים שצפויים מהפרויקט. גם בפרקטיקה צפוי שניתקל במצבים בעלי קווי דמיון משותפים עם האופציות שסקרנו - קיבצנו כמה מהם בחלק הבא.

הרחבת פרויקט

האופציה להרחיב פרויקט קיים זהה במאפייניה לאופציית Call. ייתכנו מצבים בהם הנהלת החברה תבחר להשקיע בפרויקטים לא רווחיים, ולו בגלל האפשרות להרחיב אותם כאשר יעלו על דרך המלך - פעולה שכזו מקבילה לרכישת אופציית Call, והרחבת הפרויקטים מקבילה למימושה. חישבו על חברת קסטרו בעיצומו של הניסיון לחדור לשוק הגרמני. תחת ההנחה שהחברה הניחה כי הפעילות במדינה תניב הפסדים בתחילת הדרך כפי שאכן קרה, סביר להניח שהחברה ראתה בכניסה לשוק כצעד הראשון באסטרטגיית החדירה ליבשת האירופית כולה.

דחיית פרויקט (או: "נחכה ונראה")

האופציה לדחות את תחילתו של פרויקט זהה במהותה לאופציית Call, כאשר הכניסה לפרויקט שקולה למימוש האופציה. ההשקעה הראשונית בפרויקט שקולה לתוספת המימוש, ודחיית פרויקט רווחי (בעל NPV חיובי) דומה במהותה להחזקה של אופציה שנמצאת "בתוך הכסף", כלומר כזו שמחיר נכס הבסיס גבוה מתוספת המימוש שלה. לשם המחשה, חישבו על חברה שחכרה מגרש לעשר שנים ומשהה את הקמת הבניין עד לעלייה במחירי הדירות. מתי שוויה של אופציה מסוג זה מקסימלי? כאשר אי-הוודאות גבוהה ו/או כאשר תזרים המזומנים המידי מהפרויקט, אותו אנו דוחים (או מוותרים עליו), קטן יחסית.[1]

נטישת פרויקט

כאשר השווי בפירוק של פרויקט (Liquidation Value) גבוה מהערך הנוכחי של תזרימי המזומנים שצפויים מהפרויקט, המשך הפרויקט נמצא בסימן שאלה – הפסקתו ומימוש הנכסים שמשמשים אותו שקולה למימוש אופציית Put.

שווי המימוש של הנכסים מהווה חסם תחתון לשוויו של הפרויקט. בהתאמה, שוויו של פרויקט יהיה גבוה יותר אם יהיה ביכולתה של ההנהלה למכור את הציוד ששימש אותו במקרה הצורך. למשל, במרבית המקרים השווי של אותה גמישות יהיה גבוה יותר עבור פרויקט הפקת נפט מאשר פרויקט בתחום התוכנה, מאחר והציוד בפרויקט הראשון הוא בעל ערך, בעוד שמרבית הנכסים שהרכיבו את פרויקט התוכנה הם נכסים בלתי מוחשיים (ידע וכו') שערכם לא ברור.[2]

הערכת שווי הגמישות, הלכה למעשה

פרויקטים, כמו כל נכס, צפויים להיחשף לשני סוגי סיכונים במהלך חייהם: סיכון שיטתי וסיכון ספציפי. כפי שסקרנו בפרק 1, סיכון שיטתי הוא סיכון הנובע מאי-וודאות הקשורה לסיכון בשוק כולו, וככזה – איננו ניתן לפיזור. סיכון ספציפי נובע מאי-הוודאות לגבי פעולות ואירועים ספציפיים אשר חלים במהלך חייו של הפרויקט. מכיוון שאירועים ספציפיים משפיעים אך ורק על הפרויקט עצמו, זה סיכון שניתן לפזר אותו אם החברה תחליט להשקיע בפרויקטים נוספים בעלי מתאם נמוך עם הפרויקט המדובר.

בפוסט זה נסקור שני מודלים להערכת שווי הגמישות:

  • Real Options Valuation (ROV) הוא שם כללי ליישום המודלים הקודמים שסקרנו (המתומחרים באמצעות המודל הבינומי ומודל B&S-M), כאשר הנתונים שמוזנים למודל הם מאפייני הפרויקט אותו אנו מעריכים.
  • DTA (Decision Tree Analysis) הוא מודל פשוט יחסית, העושה שימוש בהסתברויות שקיימות לכל תרחיש וההחלטה שאנו צפויים לקבל כשמידע חדש ורלוונטי יתקבל. הדוגמה מתחילת הפרק, שהציגה את מושג הגמישות, עשתה שימוש במודל ה-DTA.

באופן כללי, ניתן לומר כי מודל ה-ROV נחשב לעדיף מבחינה תיאורטית על פני מודל ה-DTA מכיוון שהוא מתמודד בצורה טובה יותר עם הסיכון הגלום בפרויקטים שקיים בתוכם אלמנט הגמישות. מודל ה-ROV, שהוא כאמור כינוי כללי למודלים המוכרים לתמחור אופציות, קושר את הסיכון בפרויקט לנכסים שדומים במאפייניהם לאלו של הפרויקט ומשתמש בשיטת ה-Replicating Portfolio כדי לקבוע את שווי הפרויקט. לעומת זאת, מודל ה-DTA מגלם את הסיכון בפרויקט בשיעור ההיוון שבאמצעותו מהוונים את תקבולי הפרויקט. הקושי לקבוע את שיעור ההיוון המתאים לאופי הפרויקטים שבפרק זה הופך את מודל ה-ROV לעדיף על פני מודל ה-DTA.[3]

כפי שניווכח בהמשך, כאשר רוב הסיכון הגלום בפרויקט נובע מסיכון שיטתי נשתמש בשיטת ה-ROV כדי להעריך אותו, כיוון שעליונותו התיאורטית מהווה יתרון חשוב. אלה יהיו מקרים בהם ההחלטה בנוגע לפרויקט תלויה בגורמים מאקרו כלכליים, כמו מחירי הסחורות בעולם או שינויי ריבית. כאשר רוב הסיכון הגלום בפרויקט נובע מסיכון ספציפי, נשתמש בשיטת ה-DTA כדי להעריך את שוויו[4]. אלה יהיו מקרים בהם ההחלטה בנוגע לפרויקט תלויה בגורמים שאין להם קשר לביצועי הכלכלה, למשל הסיכוי להצליח בפיתוח תרופה, או גודלו של מאגר אנרגיה.

Real Options Valuation - המקרה הרציף

כאשר הסיכון השיטתי הוא שמכתיב את קבלת ההחלטות, שיטת ה-ROV תניב את התוצאה האמינה ביותר. תלות השיטה בפרמטרים שמקורם בשוק ההון אמנם מגבילה את השימוש בה לז'אנר מסוים של פרויקטים אך במרבית המקרים היא איננה צפויה להוות מכשול. בחלק זה אנו נסקור את אופן החישוב של אופציה ריאלית רציפה, כלומר נדון במקרה הדורש שימוש במודל B&S-M כדי לחשבה. בהמשך הפרק נביא דוגמה לחישוב אופציה ריאלית במקרה הבדיד ("המודל הבינומי").

לשם הערכת שווי פרויקט כאופציה ריאלית רציפה עלינו לקבוע את גודלם של חמישה פרמטרים: המחיר הנוכחי של נכס הבסיס, תוספת המימוש, סטיית התקן, אורך חיי האופציה ושיעור הריבית שנושא נכס חסר סיכון. כפי שניווכח מיד, קביעת הגודל של הפרמטרים הללו היא משימה לא פשוטה כלל; לעיתים היא תתבסס על הערכות הטובות ביותר שעומדות לרשותנו ולעיתים על סטטיסטיקה היסטורית שאמורה לתאר בצורה טובה את העתיד. לכן, לניסיון ולשיקול הדעת ישנו ערך מוסף משמעותי בהערכת אופציות ריאליות.

מחיר נכס הבסיס

באופציית Call רגילה מחיר נכס הבסיס הוא שווי הנכס שנקבל לידנו אם נבחר לממש את האופציה. לכן, בפרויקטים שמהווים במהותם אופציית Call מחיר נכס הבסיס יהיה הערך הנוכחי של תזרים המזומנים שצפוי הפרויקט להניב. שתי הדוגמאות שנביא בהמשך ימחישו לנו עד כמה סובייקטיבית הערכת השווי של נכס הבסיס בפרויקטים של מאגרי אנרגיה כמו גז או נפט.

תוספת המימוש

בפרויקטים שמהווים במהותם אופציית Call תוספת המימוש תהיה ההשקעה הנדרשת למימוש האופציה שבידנו. כפי שנראה בהמשך, גם כאן לניסיון העבר ישנו תפקיד חשוב.

סטיית התקן

לשונות שנכניס למודל חשיבות מרכזית בתוצאה הסופית שנקבל. לכן, עלינו להיות בטוחים כי ההערכה שלה מדויקת ככל שניתן ואף לבצע מבחני רגישות לשווי האופציה בהינתן טווח של סטיות תקן. כאשר מדובר בנכס סחיר וניתן לומר שסטיית התקן אינה משתנה מהותית על פני זמן, כמו במקרה של סחורות, ניתן להשתמש בסטיית התקן ההיסטורית של הנכס המדובר. במקרה שכזה, הפרקטיקה המקובלת היא לקשור בין אורך החיים של האופציה לבין תקופת המדידה של הנתונים, כלומר ככל שאורך החיים של האופציה ארוך יותר, אמידת סטיית התקן תיעשה על פני תקופה ארוכה יותר. במקרה ומדובר בנכס שאיננו סחיר, ניתן לנקוב בסטיית התקן על סמך ניסיון העבר של החברה בפרויקטים דומים או התנודתיות של מחירי המניה של חברות מקבילות.[5]

נוחות השימוש במודל B&S-M מהווה גורם מרכזי לפופולריות העצומה שהוא זוכה לה בעשורים האחרונים. יחד עם זאת, עלינו להיות מודעים למגבלותיו של המודל, ולבצע התאמות בגינן במקרה הצורך. ראשית, מודל B&S-M מניח כי המסחר בבורסה הוא רציף, כלומר אין "קפיצות במחיר" מתקופה לתקופה. זוהי הנחה שלא תמיד מתקיימת במציאות, מה שעלול לגרום לאמידה מוטית כלפי מטה של אופציות שהן עמוק מחוץ לכסף. ישנן שתי דרכים עיקריות להתמודד עם הסוגיה: האחת, הגדלת סטיית התקן עבור אופציות מסוג זה, והשנייה - שימוש במודלים שיודעים לשקלל גם קפיצות במחיר לתוצאה הסופית שמתקבלת. כמו-כן, המודל מניח שסטיית התקן של נכס הבסיס נותרת קבועה על פני כל אורך חייה של האופציה. זוהי הנחה סבירה עבור פרקי זמן קצרים, אך מעט בעייתית כאשר מדובר באופציות שאינן כאלה. גם כאן, ישנם מודלים שיודעים להתמודד עם כך. קצרה היריעה בספר זה לדון במודלים מורחבים אלו.

אורך חיי האופציה

אורך החיים של האופציה הוא משך הזמן שיש ברשותנו עד שניאלץ להחליט אם לממש אותה או לא. במקרה של מאגרי אנרגיה, התשובה ברורה: אורך חיי רישיון הקידוח. אבל קיימים מקרים בהם לאופציה לדחיית פרויקט מסוים ישנו אורך חיים שאיננו ברור. למשל, נאמר שאנו מעריכים את שווי האפשרות שיש לנו לדחות פרויקט מסוים. כמו במקרה של אופציית Call, אנו נשאף לדחות את ההשקעה בפרויקט ככל האפשר מאחר ולדחיית ההשקעה ישנו ערך כלכלי עבורנו (ערך הזמן של האופציה), אבל דחיית ההשקעה בפרויקט צריכה להיעשות תוך שמירה על היתרון התחרותי שיש לנו כחברה. לכן, דחיית ההשקעה תלויה בגובהם של חסמי הכניסה בשוק ובגורמים אחרים שיכולים לשנות את אורך החיים של האופציה כהרף עין. למשל, ייתכן וחברת נוקיה סברה כי יש לה את כל הזמן שבעולם בכדי להחליט האם לפתח מערכת הפעלה חדשה לטלפונים סלולאריים חכמים (סמארטפונים), אך המציאות, כפי שכולם יודעים, טפחה על פניה: מערכת ההפעלה בה נוקיה השתמשה, הסימביאן, התגלתה במהרה כחסרת ערך מול התחרות החדשה שצצה. במונחי הפרק, ייתכן והעובדה כי נוקיה לא שמה לב לקיטון באורך החיים של האופציה היא אחד הגורמים להשמדת הערך שמשקיעיה חוו בשנים 2008-2010. במקרה הספציפי של נוקיה, נראה כי גם הקיטון במחיר נכס הבסיס[6] והעלייה במחיר המימוש[7] תרמו את חלקם לירידה בשווי המניה של נוקיה. באפריל 2011, אגב, החליטה נוקיה לממש את האופציה וחתמה על הסכם שיתוף פעולה עם מיקרוסופט.

אין פתרון חד-משמעי לדינמיות של הפרמטרים המרכיבים אופציה ריאלית. עלינו להיות ערים לכך ולבצע את ההתאמות הנדרשות במידת הצורך.

שיעור הריבית על נכס חסר סיכון

מאחר ומחיר האופציה מחושב על סמך אסטרטגיית גידור המבטיחה לנו תקבול וודאי במועד הפקיעה, עלינו לעשות שימוש בשיעור היוון מתאים לסוג כזה של תקבול – שיעור הריבית שנושא נכס חסר סיכון. הדגש העיקרי שניתן בהקשר זה הוא כי כל הערכים אותם נכניס למודל צריכים להיות נקובים באופן זהה, כלומר אם נכס הבסיס ותוספת המימוש נקובים בערכים ריאליים, שיעור הריבית על נכס חסר סיכון צריך להיות נקוב גם הוא לפי ערכים ריאליים; אם הם נקובים בערכים נומינליים שיעור הריבית צריך להיות נקוב בערכים נומינליים.

בפוסט הבא נסקור דוגמאות מספריות שיעזרו לנו להוציא לפועל את המתודולוגיה שסקרנו זה עתה

 

[1] ההיגיון הכלכלי במקרה זה דומה לזה של אופציית רכש אמריקאית על מניה שמחלקת דיבידנדים.

[2] ראו לדוגמה את מלחמות הפטנטים שהחלו לאחרונה בין סמסונג, אפל, גוגל ואחרות.

[3] התוצאות המתקבלות משני המודלים יהיו זהות כאשר שיעור ההיוון במודל ה-DTA שווה לשיעור ההיוון המגולם שמתקבל אם מעריכים את שווי הפרויקט באמצעות מודל ה-ROV.

[4] כאשר הסיכון בפרויקט הוא ספציפי לחלוטין, שיעור ההיוון של הפרויקט צריך להיות שווה לשיעור הריבית על נכס חסר סיכון, ולכן הבעייתיות שבקביעת שיעור ההיוון במודל ה-DTA נעלמת. במצב שכזה, מודל ה-ROV ומודל ה-DTA יניבו תוצאות זהות.

[5] למעשה עלינו לחלץ מסטיית התקן של ההון העצמי (מניות) את סטיית התקן הנכסית שכן הפרויקט הוא חלק מנכסי החברה לא מההון העצמי של החברה.

[6] ככל שנוקיה התעכבה עם ההחלטה, ההטבות הכלכליות שבכניסה לשוק קטנו מאחר והמתחרים הקיימים הלכו וביססו את מעמדם

[7] ככל שנוקיה התעכבה עם ההחלטה, תוספת המימוש שלה גדלה: הפסקת פרויקט הסימביאן (וה-Anna, מערכת ההפעלה החדשה שפיתחה בצוותא עם אינטל), ההגעה למו"מ עם מיקרוסופט בעמדה נחותה יותר, וכו'.

תמחור אופציות ריאליות, חלק ג': כמה מילים על מודל בלאק ושולס

לפני שנפרסם מספר פוסטים מרכזיים שילוו אותנו, נרצה לסקור בפוסט קצר את המודל הפופולרי ביותר כיום לתמחור אופציות, המודל של בלאק, שולס ומרטון. בבגדול, המודל הוא למעשה מקרה רציף של המודל הבינומי, כאשר שיטת הפתרון היא שיטת ה-Replicating Portfolio אותה אנו סוקרים בפרק 10. לכן, זה מעט לא אינטואיטיבי שדווקא המודל של בלאק, שולס ומרטון פורסם כשש שנים לפני פרסום המודל הבינומי של Cox, Ross & Rubinstein. כלומר, בערך. Sharpe היה מלמד את עקרונות המודל הבינומי לסטודנטים שלו בסטנפורד עוד בשנות ה-70 המוקדמות, ובכלל לא מעט מתמטיקאים התעסקו עם התנהגות מחירי המניה במקרה הבדיד. בכל אופן, מדובר כנראה בפריצת הדרך הגדולה ביותר בתחום המימון במאה האחרונה, לטעמי גדולה יותר מזו של מודל ה-CAPM. בפוסטים הבאים נחזור לנושא האופציות הריאליות ונסקור דוגמאות מספריות לשימוש במתודולוגיה הזו.

בשנת 1973, בזמן ש- Robert Merton פיתח את הנוסחה לתמחור אופציית Call אירופאית [1], פרסמו גם Fischer Black ו- Myron Scholes את מאמרם בדיוק באותו נושא [2]. ההתפתחויות האלו בתחילת שנות ה- 70 היוו פריצת דרך בתחום תמחור אופציות ועל כך בשנת 1997 הוענק פרס נובל ל-Scholes ו-Merton (Black נפטר בשנת 1995). בבסיס המודל של השלושה (להלן Black & Scholes) ישנן מספר הנחות כדלקמן:

  1. מחיר המניה ניתן לתיאור על ידי תהליך בעל תוחלת וסטיית תקן קבועים (Brownian Motion).
  2. נכס הבסיס אינו מחלק דיבידנד בדיד בהלך חיי אופציה, כלומר, או שנכס הבסיס אינו מחלק דיבידנדים במהלך חיי האופציה או שהדיבידנד שיחלק נכס הבסיס הוא דיבידנד המחולק באופן רציף.
  3. קיים מסחר רציף בנכסי בסיס ואופציות. כלומר, מחיר המניה נע לאורך זמן בצורה רצופה וללא קפיצות.
  4. שיעור הריבית חסרת סיכון קבוע.
  5. "אין חיכוכים", כלומר מותרות מכירות בחסר ואין מיסים ועלויות עסקה.

בכדי להעריך את שווי האופציה במודל Black & Scholes עלינו להשתמש בחמישה פרמטרים המסווגים לקטגוריות הבאות:

נתונים הקשורים לחוזה האופציה:

  • אורך חיי האופציה (המסומן ב T).
  • מחיר המימוש של האופציה (המסומן ב X).

נתונים הקשורים לשוק:

  • ריבית חסרת סיכון (המסומנת ב r).
  • שווי הנוכחי של נכס הבסיס (המסומן ב S).

ונתון המתאר את התפלגות המניה, הוא סטיית התקן התקופתית של תשואת נכס הבסיס (המסומנת ב Stdv).

לאחר שאספנו את כל חמשת הנתונים המבוקשים, נוכל להשתמש במודל Black & Scholes לתמחור אופציות. להלן הנוסחה לחישוב מחיר אופציית Call אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים: 

\text{C(x)}=S\cdot N(d_1)-x\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)

ועבור אופציית Put אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים:

\text{P(x)}=x\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)

כאשר:

d_1=\frac{ln\left(\frac{S}{X}\right)+\left(r+\frac{\sigma}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

C(x) - שוויה, היום, של אופציית Call שתוספת המימוש שלה היא x,

P(x) - שוויה, היום, של אופציית Put שתוספת המימוש שלה היא x,

N(d_1) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_1,

N(d_2) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_2,

S - מחירו כיום של נכס הבסיס,

T - משך הזמן שנותר עד לפקיעת האופציה,

\sigma - סטיית התקן של מחיר נכס הבסיס,

r - שיעור הריבית שמניב נכס חסר סיכון.

שימו לב כי משך חיי האופציה, סטיית התקן והריבית חסרת הסיכון צריכים להיות נקובים באותם מונחים (במרבית המקרים, במונחים שנתיים).

בפוסטים הבאים ניישם את המודל ונראה איזה שווי מתקבל כאשר מיישמים אותו על שדות גז או נפט, אבל לפני סיום, איך אפשר לסיים בלי אותו סרטון שפרסמתי לפני כמה זמן?


[1] אופציה אירופאית ניתנת למימוש רק במועד הפקיעה שלה, בעוד אופציה אמריקאית ניתנת למימוש בכל שלב במחזור החיים שלה.

[2] Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.

Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): 637–654.

מבחנים לדוגמה

מבחנים לדוגמה, כולל פתרונות מלאים, הועלו למדור המתאים. המבחנים פורסמו לסטודנטים שלנו בקורס הערכת שווי חברות שהעברנו בסמסטר החולף באוניברסיטה העברית.

אנו ממליצים בחום לשבת ולתרגל, ומבטיחים שנעלה מבחנים עדכניים ככל שנוכל. חובה, חובה, חובה לתרגל את החומר הזה בשביל לוודא שהוא שקע כמו שצריך.

בשבוע הבא, אגב, אנחנו אמורים להשיק כלי נוסף ודי מגניב, שיצטרך לשני אחיו הבוגרים יותר