תמחור אופציות ריאליות, חלק ג': כמה מילים על מודל בלאק ושולס

לפני שנפרסם מספר פוסטים מרכזיים שילוו אותנו, נרצה לסקור בפוסט קצר את המודל הפופולרי ביותר כיום לתמחור אופציות, המודל של בלאק, שולס ומרטון. בבגדול, המודל הוא למעשה מקרה רציף של המודל הבינומי, כאשר שיטת הפתרון היא שיטת ה-Replicating Portfolio אותה אנו סוקרים בפרק 10. לכן, זה מעט לא אינטואיטיבי שדווקא המודל של בלאק, שולס ומרטון פורסם כשש שנים לפני פרסום המודל הבינומי של Cox, Ross & Rubinstein. כלומר, בערך. Sharpe היה מלמד את עקרונות המודל הבינומי לסטודנטים שלו בסטנפורד עוד בשנות ה-70 המוקדמות, ובכלל לא מעט מתמטיקאים התעסקו עם התנהגות מחירי המניה במקרה הבדיד. בכל אופן, מדובר כנראה בפריצת הדרך הגדולה ביותר בתחום המימון במאה האחרונה, לטעמי גדולה יותר מזו של מודל ה-CAPM. בפוסטים הבאים נחזור לנושא האופציות הריאליות ונסקור דוגמאות מספריות לשימוש במתודולוגיה הזו.

בשנת 1973, בזמן ש- Robert Merton פיתח את הנוסחה לתמחור אופציית Call אירופאית [1], פרסמו גם Fischer Black ו- Myron Scholes את מאמרם בדיוק באותו נושא [2]. ההתפתחויות האלו בתחילת שנות ה- 70 היוו פריצת דרך בתחום תמחור אופציות ועל כך בשנת 1997 הוענק פרס נובל ל-Scholes ו-Merton (Black נפטר בשנת 1995). בבסיס המודל של השלושה (להלן Black & Scholes) ישנן מספר הנחות כדלקמן:

  1. מחיר המניה ניתן לתיאור על ידי תהליך בעל תוחלת וסטיית תקן קבועים (Brownian Motion).
  2. נכס הבסיס אינו מחלק דיבידנד בדיד בהלך חיי אופציה, כלומר, או שנכס הבסיס אינו מחלק דיבידנדים במהלך חיי האופציה או שהדיבידנד שיחלק נכס הבסיס הוא דיבידנד המחולק באופן רציף.
  3. קיים מסחר רציף בנכסי בסיס ואופציות. כלומר, מחיר המניה נע לאורך זמן בצורה רצופה וללא קפיצות.
  4. שיעור הריבית חסרת סיכון קבוע.
  5. "אין חיכוכים", כלומר מותרות מכירות בחסר ואין מיסים ועלויות עסקה.

בכדי להעריך את שווי האופציה במודל Black & Scholes עלינו להשתמש בחמישה פרמטרים המסווגים לקטגוריות הבאות:

נתונים הקשורים לחוזה האופציה:

  • אורך חיי האופציה (המסומן ב T).
  • מחיר המימוש של האופציה (המסומן ב X).

נתונים הקשורים לשוק:

  • ריבית חסרת סיכון (המסומנת ב r).
  • שווי הנוכחי של נכס הבסיס (המסומן ב S).

ונתון המתאר את התפלגות המניה, הוא סטיית התקן התקופתית של תשואת נכס הבסיס (המסומנת ב Stdv).

לאחר שאספנו את כל חמשת הנתונים המבוקשים, נוכל להשתמש במודל Black & Scholes לתמחור אופציות. להלן הנוסחה לחישוב מחיר אופציית Call אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים: 

\text{C(x)}=S\cdot N(d_1)-x\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)

ועבור אופציית Put אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים:

\text{P(x)}=x\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)

כאשר:

d_1=\frac{ln\left(\frac{S}{X}\right)+\left(r+\frac{\sigma}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

C(x) - שוויה, היום, של אופציית Call שתוספת המימוש שלה היא x,

P(x) - שוויה, היום, של אופציית Put שתוספת המימוש שלה היא x,

N(d_1) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_1,

N(d_2) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_2,

S - מחירו כיום של נכס הבסיס,

T - משך הזמן שנותר עד לפקיעת האופציה,

\sigma - סטיית התקן של מחיר נכס הבסיס,

r - שיעור הריבית שמניב נכס חסר סיכון.

שימו לב כי משך חיי האופציה, סטיית התקן והריבית חסרת הסיכון צריכים להיות נקובים באותם מונחים (במרבית המקרים, במונחים שנתיים).

בפוסטים הבאים ניישם את המודל ונראה איזה שווי מתקבל כאשר מיישמים אותו על שדות גז או נפט, אבל לפני סיום, איך אפשר לסיים בלי אותו סרטון שפרסמתי לפני כמה זמן?


[1] אופציה אירופאית ניתנת למימוש רק במועד הפקיעה שלה, בעוד אופציה אמריקאית ניתנת למימוש בכל שלב במחזור החיים שלה.

[2] Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.

Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): 637–654.

0 תגובות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *