אלטרנטיבות למודל ה-CAPM: מודל ה-APT


כל הפוסטים בסדרה:

לא מעט אלטרנטיבות למודל ה-CAPM הוצגו במרוצת השנים, רובן מוסיפות את ההתחשבות בגורמים נוספים שמשפיעים על קבלת ההחלטות של משקיעים, כמו מסים או הכנסה עתידית; בין הבולטים שבהם היה זה של Black (1972), בו הוא פיתח גרסה ל-CAPM שבה שיעור הריבית ללווים ולמלווים לא חייב להיות שווה לריבית חסרת סיכון (Black’s Zero-Beta CAPM),[1] וזה של Merton (1973), בו המשקיעים משקללים בהערכות שלהם לא רק את התקבולים שיישארו בידיהם בסוף התקופה, אלא גם את הזדמנויות ההשקעה והצריכה שצפויות להתקיים בסופה. מודל זה היה ידוע בכינוי ICAPM – Intertemporal CAPM.[2]

עם כל הכבוד למודלים האלטרנטיביים שהוצעו, אין ספק כי האלטרנטיבה הבולטת ביותר הינה מודל ה-APT (Arbitrage Pricing Theory), שפורסם על ידי Stephen Ross בשנת 1976.[3] בקצרה, מודל ה-APT מתבסס על הנחת היעדר הזדמנויות ארביטראז', כלומר שלא ייתכנו שני נכסים זהים הנסחרים במחירים שונים, ותוך שימוש בהרבה פחות הנחות ממודל ה-CAPM הוא מנבא את תוחלת התשואה שיניב נכס i באמצעות המשוואה הבאה:

R_i=a_i+b_{i1}I_1+b_{i2}I_2+\dotsc+b_{ij}I_j+e_i

כאשר:

Ij – הפקטור ה-j שמשפיע על התשואה של נכס i,

bij – מידת הרגישות של התשואה של נכס i לפקטור j,

ai – התשואה המצופה מנכס i כאשר שאר הפקטורים שווים לאפס,

ei – ההפרעה האקראית.

החיסרון המרכזי של המודל הוא שהוא נותן את המסגרת הכללית לקביעת תוחלת התשואה המצופה, מבלי לנקוב בפקטורים שאמורים לסייע במלאכה. כך, החל לו מסע אקדמי בעקבות הפקטורים הנעלמים שאמורים להכניע את מודל ה-CAPM הישן והטוב, ואנו נציין את שני המחקרים הבולטים בנושא.

Chen, Roll & Ross מתחילים בניתוח של הגורמים המשפיעים על תשואתה של מניה, ומחלקים אותם לשני סוגים: הסוג הראשון כולל בתוכו פקטורים המשפיעים על תזרימי המזומנים הצפויים מהמניה, והסוג השני כולל פקטורים המשפיעים על ערכם הנוכחי של תזרימי המזומנים הללו.[4] הם עושים שימוש במתודולוגיה של Fama & McBeth ומוצאים כי ארבעת הפקטורים המקרו-כלכליים שבהם השתמשו (אינפלציה, עקום הריבית, פרמיית הסיכון של אגרות חוב מסוכנות ורמת הייצור התעשייתי) הם בעלי יכולת הסבר מובהקת לתשואותן של מניות. יתרה מכך, כאשר רגרסיית השלב השני לקחה בחשבון גם את הביטא הקלאסית, השפעתה של האחרונה התגלתה כלא מובהקת. Chen, Roll & Ross נמנעים מלהצהיר במפורש כי גילו את הפקטורים המשפיעים על תוחלת התשואה של מניות, אך מכירים בצעד הגדול שביצעו לעבר המטרה הזו.

גישה אחרת למציאתם של הפקטורים הנעלמים היא להשתמש בפקטורים המזכירים במהותם את פרמיית הסיכון הקלאסית ממודל ה-CAPM, ומייצגים בצורה טובה את הגורמים המשפיעים על תשואת המניה שפרמיית הסיכון הקלאסית לא מצליחה. הניסיון המפורסם ביותר מהסוג הזה הוא ניסיונם של Fama & French (1993), בו הם מוסיפים לפרמיית הסיכון הקלאסית שני פקטורים נוספים, התשואה העודפת שהשיגו תיקים מבוזרים של מניות קטנות על פני תיקים מבוזרים של מניות גדולות (Small Minus Big) והתשואה העודפת שהשיגו תיקים מבוזרים, המורכבים ממניות בעלות שווי גבוה יותר של הון עצמי בספרים ביחס לשווי שוק (זהו למעשה מכפיל הון הפוך), על פני תיקים מבוזרים המורכבים ממניות בעלות שווי נמוך יותר של הון עצמי בספרים ביחס לשווי שוק (High Minus Low).[5] כלומר, המודל שהם מציעים הוא מודל הכולל בתוכו שלוש ביטאות, באופן הבא:[6]

E(R_i)=r_f+\beta_{iM}\left[E(R_M)-r_f\right]+\beta_{iS}E(SMB)+\beta_{iH}E(HML)

Fama & French מצאו, כמובן, שלמודל שלהם יכולת חיזוי טובה יותר מהיכולת של מודל ה-CAPM, אך לא כולם קיבלו את התוצאות בהכנעה. הביקורת הידועה ביותר על מאמרם הינה שהבחירה בפקטורים הספציפיים הללו מבוססת על העובדה שאלו הם הפקטורים בעלי המתאם הסטטיסטי הכי חזק לתשואת המניות, ללא כל ביסוס תיאורטי מוצק מאחורי הבחירה הזו (הכינוי לכך בעגה המקצועית הוא Data Snooping). בנוסף לכך, ישנה השקפה שמקורה בכלכלה התנהגותית, לפיה משקיעים נוהגים בהתאם למודל ה-CAPM, אך אי-רציונאליות בקביעת המחירים מביאה לכך שמודל ה-CAPM מופר במציאות; בהמשך לכך, הפקטורים שהוסיפו Fama & French מתואמים עם אי-הרציונאליות הזו ולכן אנו מקבלים שלמודל שלהם יכולת הסבר טובה מזו של ה-CAPM בצורתו הקלאסית. במילים אחרות, Fama & French טוענים שהפקטורים הנוספים "תופסים" סיכון שה-CAPM לא מצליח לתפוס, והכלכלנים ההתנהגותיים סבורים כי הם תופסים את אי-הרציונאליות של המשקיעים. מבחינה תיאורטית, זוהי בעיה די חמורה, מכיוון שלא ברור האם הבעיה ב-CAPM היא בהנחת הרציונאליות של המשקיעים (כפי שסבורים הכלכלנים ההתנהגותיים) או בהנחות אחרות שעליהן הוא מתבסס (כפי שסבורים Fama & French). מבחינה פרקטית, מקור הבעיה פחות חשוב, והדגש הוא על פתרונה; לכן, כל עוד ממצאיהם של Fama & French הם אינם תוצאה של Data Snooping, ניתן להשתמש במודל שלהם לצורך חיזוי מחיר ההון העצמי. מבחנים שבדקו את ביצועיו של המודל של Fama & French בשווקים אחרים מאמתים את יכולותיו, ולכן נראה כי לפחות הבסיס האמפירי שלו נותר איתן. בהקשר זה, ראוי גם לציין גם את המודל של Cahart (1997), שבו נכלל פקטור רביעי, האמור לייצג את אפקט המומנטום.[7] אפקט המומנטום, אותו זיהו Jegadeesh & Titman (1993), הוא כינוי למצב שבו מניה ש"ניצחה את השוק" בשנה מסוימת, תמשיך להציג ביצועים טובים גם בחודשים העוקבים, ולהיפך עבור מניות ש"השוק ניצח אותן".[8] למרות שהמודל של Cahart מניב תוצאות עדיפות על פני זה של Fama & French, נראה כי אורך החיים הקצר של אפקט המומנטום מונע מהמודל להיות כלי עזר ממשי לצורך אמידת מחיר ההון העצמי בהערכות שווי.

אנו נסכם ונאמר כי למרות חולשתו התיאורטית, קשה להתעלם מיכולת הניבוי החזקה של המודל של Fama & French, ולכן אין זה מפתיע שהוא נמצא בשימוש תדיר אצל העוסקים בפרקטיקה בישראל ובעולם.

 

על הקשר שבין מודל ה-CAPM  ומודל ה-APT

לפני שנסיים סקירה זו, ראוי להזכיר כי עצם הווייתם של מודלים מרובי פקטורים לאו דווקא סותר את מודל ה-CAPM. למעשה, במידה וקיימים פקטור יחיד בדמות תיק השוק ונכס חסר סיכון, ניתן להוכיח די בפשטות כי משוואת ה-APT הבאה מתקיימת:

E(R_i)=r_f+\beta_i\left[E(R_m)-r_f\right]

זוהי, כמובן, משוואת ה-SML המוכרת לנו ממודל ה-CAPM.

אבל גם כאשר ישנם פקטורים נוספים, ניתן להוכיח שתחת הנחות מסוימות מודל ה-CAPM עדיין מתקיים, ואנו נראה זאת כעת. נניח כעת כי קיימים שני פקטורים המשפיעים על תוחלת התשואה, באופן הבא:

R_i=a_i+b_{i1}I_1+b_{i2}I_2+e_i

האינדקסים עצמם אינם משנים, הם יכולים להיות מדדי מניות, שיעור האבטלה במשק וכו'. מה שחשוב הוא ההנחה כי אין מתאם בין השאריות של ניירות ערך שונים, כך ש:[10]

E(e_ie_j)=0

כמו-כן, אם ה-APT מתקיים, המשוואה הבאה אמורה להתקיים בשיווי משקל:

E(R_i)=r_f+b_{i1}\lambda_1+b_{i2}\lambda_2

כאשר  היא התשואה העודפת על פני נכס חסר סיכון של תיק בעל ביטא  וחוסר מתאם עם שאר הפקטורים. אם מודל ה-CAPM מתקיים, הוא מתקיים לא רק עבור מניות בודדות, אלא גם עבור תיקים. אם נניח כי ניתן לייצג את הפקטורים באמצעות תיקים, ניתן לומר כי תוחלת התשואה של כל  שווה בשיווי משקל לביטוי הבא, המסתמך על מודל ה-CAPM:

\lambda_1=\beta_{\lambda 1}\left[E(R_m)-r_f\right]

\lambda_2=\beta_{\lambda 2}\left[E(R_m)-r_f\right]

אם נציב את שני הביטויים הללו במשוואת ה-APT, נקבל כי:

E(R_i)=r_f+b_{i1}\beta_{\lambda 1}\left[E(R_m)-r_f\right]+b_{i2}\beta_{\lambda 2}\left[E(R_m)-r_f\right]

E(R_i)=r_f+\left(b_{i1}\beta_{\lambda 1}+b_{i2}\beta_{\lambda 2}\right)\left[E(R_m)-r_f\right]

אם נגדיר כי

\beta_i=b_{i1}\beta_{\lambda 1}+b_{i2}\beta_{\lambda 2}

נקבל כי תוחלת התשואה מנכס i מקיימת את משוואת ה-SML של מודל ה-CAPM:

E(R_i)=r_f+\beta_i\left[E(R_m)-r_f\right]

ההוכחה הזו מדגימה נקודה חשובה. מציאת פקטור נוסף, מלבד תיק השוק, המשפיע בצורה מובהקת על תשואת המניות, איננה מספיקה בכדי לדחות את מודל ה-CAPM. רק אם תוחלת התשואה של אותו פקטור, \lambda_j, שונה באופן מובהק מ- \beta_{\lambda j}\left[E(R_m)-r_f\right], ניתן לומר כי התוצאה סותרת את מודל ה-CAPM. כלומר, ייתכן כי קיימים מספר פקטורים המסבירים יחדיו את השונות המשותפת שבין זוג מניות, ועדיין מודל ה-CAPM יתקיים.

סיכום

קשה לומר כי ה-CAPM בצורתו הקלאסית היה הצלחה אמפירית מפוארת. למעשה, גם הגרסה של Black (1972), שתמכה בעקום SML גבוה ושטוח יותר, הלכה ואיבדה מהרלוונטיות שלה אל מול מחקרים שחשפו עוד ועוד גורמים בעלי יכולת הסבר מובהקת לתוחלת התשואה; אם ה-CAPM לא עובד, יש לכך השלכות על שני תחומים מרכזיים במימון: האחד, הערכות שווי יהיו מוטות עבור חברות שמודל ה-CAPM איננו מתאים עבורן, בגלל שעלות ההון המשוקללת תהיה מוטה. שנית, בחינת ביצועיהם של מנהלי תיקים על סמך התשואה העודפת שהשיגו ביחס ל-SML גם היא תהיה מוטה.[11]

יחד עם זאת, קשה לקבוע בוודאות האם הבעיות האמפיריות של המודל מקורן בעובדה שהוא איננו נכון, בכך שעדיין לא גילינו כיצד ליישם אותו בצורה נכונה,[12] או באקראיות המהווה חלק בלתי נפרד מחיינו.[13]על כל פנים, המודל מהווה אבן דרך בכל הקשר להבנת הקשר שבין סיכון לתשואה, ובאין מודלים ששולטים עליו בצורה מוחלטת, הוא נחשב למודל הנפוץ ביותר לצורך קביעת עלות ההון של חברות, כאשר מגבלותיו היישומיות דורשות מאיתנו להפעיל היגיון בריא בעת השימוש בתוצאות המתקבלות ממנו.


[1] Black, Fischer. 1972. “Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing.” Journal of Business. 45:3, pp. 444–54.

[2] Merton, Robert C. 1973. “An Intertemporal Capital Asset Pricing Model.” Econometrica. 41:5, pp. 867–87.

[3] Ross, Stephen (1976). "The arbitrage theory of capital asset pricing". Journal of Economic Theory 13 (3): 341–360.

[4] Chen, Nai-Fu; Roll, Richard; Ross, Stephen (1986). "Economic Forces and the Stock Market". Journal of Business 59 (3): 383–403.

[5] Fama, Eugene F. and Kenneth R. French. 1993. “Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds.” Journal of Financial Economics. 33:1, pp. 3–56.

[6] באופן לא מפתיע, מודל זה מכונה "מודל שלושת הפקטורים" (Three Factor Model).

[7] Carhart, Mark M. 1997. “On Persistence in Mutual Fund Performance.” Journal of Finance. 52:1, pp. 57–82.

[8] Jegadeesh, Narasimhan and Sheridan Titman. 1993. “Returns to Buying Winners and Selling Losers: Implications for Stock Market Efficiency.” Journal of Finance. 48:1, pp. 65–91.

[10] שימו לב כי הנחת חוסר המתאם מתייחסת לשאריות ולא לתשואות עצמן.

[11] התשואה העודפת על פני התשואה החזויה על פי מודל ה-CAPM מכונה לעיתים "האלפא של ג'נסן", על שם Michael Jensen, שכתב על הנושא בשנת 1968: Jensen, Michael C. 1968. “The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964.” Journal of Finance. 23:2, pp. 389–416.

[12] למשל, ניתן לטעון כי אלו לא הפקטורים הנוספים שהם בעלי יכולת הסבר לתוחלת התשואה, אלא זה אנחנו שכשלנו בבניית תיק השוק בעת יישום המודל. כלומר, שילוב של הפקטורים הנוספים בסך הכל מהווה "ייצוג" (Proxy) טוב יותר לתיק השוק האמיתי, שאנו לא יודעים מהו, ולכן התוצאות העדיפות.

[13] אם נמתח רווח בר סמך ברמת וודאות של 95%, נקבל כי קו ה-SML התיאורטי איננו שונה באופן מובהק מהקו בפועל. כלומר, ייתכן והמודל נכון, אך האקראיות היא זו שגורמת לאומדנים שלנו להיות שונים מהערכים שהתקבלו בפועל.

4 תגובות
  1. אבי ג.
    אבי ג. says:

    למרות האופי האקדמי/ תיאורטי של 2 הפוסטים על CAPM מבקש לשאול שאלה פרקטית:
    אם אני משתמש בנוסחה "הלא מדוייקת וחלשה אמפירית" במודל הערכת שווי שהוא מלא בתהליכים אקראיים ולאחר מכן מריץ סימולציית מונטה-קרלו סביב התוצאה הממוצעת (והלא-מדוייקת), האם זה לא המקסימום שאוכל לעשות כמשקיע ? (בהנחה שעשיתי הכל נכון).

    הגב
    • ערן
      ערן says:

      תראה, אם אתה מחפש מספר אחד להשתמש בו, אז מונטה-קרלו לא כל כך יעזור לך - הרי גם ככה תשתמש בתוחלת (שאמורה להיות שווה לממוצע של מונטה קרלו). אם אתה מחפש טווחים, אז גם לא - כי כל טווח ביטחון של 90% הוא ענק, ולא תוכל להסיק ממנו כלום (תאר לך ביטא, שברמת מובהקות של 90%, נעה בין 0.6 ל-1.3). כלומר, כל האמצעים הטכניים האלה נחמדים, אבל אני נזהר מלהמליץ עליהם להחלטות השקעה פרקטיות, כי בהנחה שיש לך כמות זמן מסוימת להשקיע, אני ממליץ לך להשקיע אותה בניתוח החפיר של החברה והעתיד שצפוי לענף בו היא פועלת.
      ואגב, גם מונטה קרלו של CAPM לא יעזור אם החברה אותה אתה מעריך "נופלת" במקומות שבהם ה-CAPM מתקשה לפעול (חברות קטנות, ו/או חברות בעלות מכפיל הון נמוך).
      בקיצור, ה-CAPM הוא מודל נחמד, והוא מספק אחלה תובנות, אבל ככל שלומדים אותו מבינים שההבדלים בין משקיע בינוני למשקיע דגול הם לא במי מיישם טוב יותר את מודל ה-CAPM, כי אם ביכולת הניתוח של החפיר, זיהוי הזדמנויות, וכו וכו.

      האם זה מאכזב אותך ? :)

      הגב
      • אבי ג.
        אבי ג. says:

        אני לא מאוכזב כי כבר הפנמתי שוורן באפט יש רק אחד !! אני משתדל לעשות את המודל נכון (מבחינה תיאורטית) למרות שהרבה תיאוריות לא עבדו כראוי ב-4 השנים האחרונות. אני נהנה לקרוא את התובנות שלך (שבדרך כלל שונות משלי) ומאחל שנה טובה והרבה כתיבה פוריה באתר בשנה הבאה.
        נ.ב. למה מודל ה-CAPM לא עובד טוב בחברות קטנות ?

        הגב
  2. ערן
    ערן says:

    תודה רבה אבי, שנה טובה גם לך :)
    כנראה שעבור חברות קטנות, משקיעים לא משתמשים בפיצוי ליניארי ביחס לביטא, אלא דורשים עוד איזשהי אקסטרה. בגלל זה המודל של פאמה ופרנץ כן עובד - הם מוסיפים את הגורם החסר הזה למשוואת ה-CAPM ומקבלים ספסיפיקציה טובה יותר של המודל. החיסרון הוא כאמור שימוש במודל שאיננו מבוסס תיאורטית.

    הגב

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *