תמחור אופציות ריאליות, חלק ג': כמה מילים על מודל בלאק ושולס

לפני שנפרסם מספר פוסטים מרכזיים שילוו אותנו, נרצה לסקור בפוסט קצר את המודל הפופולרי ביותר כיום לתמחור אופציות, המודל של בלאק, שולס ומרטון. בבגדול, המודל הוא למעשה מקרה רציף של המודל הבינומי, כאשר שיטת הפתרון היא שיטת ה-Replicating Portfolio אותה אנו סוקרים בפרק 10. לכן, זה מעט לא אינטואיטיבי שדווקא המודל של בלאק, שולס ומרטון פורסם כשש שנים לפני פרסום המודל הבינומי של Cox, Ross & Rubinstein. כלומר, בערך. Sharpe היה מלמד את עקרונות המודל הבינומי לסטודנטים שלו בסטנפורד עוד בשנות ה-70 המוקדמות, ובכלל לא מעט מתמטיקאים התעסקו עם התנהגות מחירי המניה במקרה הבדיד. בכל אופן, מדובר כנראה בפריצת הדרך הגדולה ביותר בתחום המימון במאה האחרונה, לטעמי גדולה יותר מזו של מודל ה-CAPM. בפוסטים הבאים נחזור לנושא האופציות הריאליות ונסקור דוגמאות מספריות לשימוש במתודולוגיה הזו.

בשנת 1973, בזמן ש- Robert Merton פיתח את הנוסחה לתמחור אופציית Call אירופאית [1], פרסמו גם Fischer Black ו- Myron Scholes את מאמרם בדיוק באותו נושא [2]. ההתפתחויות האלו בתחילת שנות ה- 70 היוו פריצת דרך בתחום תמחור אופציות ועל כך בשנת 1997 הוענק פרס נובל ל-Scholes ו-Merton (Black נפטר בשנת 1995). בבסיס המודל של השלושה (להלן Black & Scholes) ישנן מספר הנחות כדלקמן:

  1. מחיר המניה ניתן לתיאור על ידי תהליך בעל תוחלת וסטיית תקן קבועים (Brownian Motion).
  2. נכס הבסיס אינו מחלק דיבידנד בדיד בהלך חיי אופציה, כלומר, או שנכס הבסיס אינו מחלק דיבידנדים במהלך חיי האופציה או שהדיבידנד שיחלק נכס הבסיס הוא דיבידנד המחולק באופן רציף.
  3. קיים מסחר רציף בנכסי בסיס ואופציות. כלומר, מחיר המניה נע לאורך זמן בצורה רצופה וללא קפיצות.
  4. שיעור הריבית חסרת סיכון קבוע.
  5. "אין חיכוכים", כלומר מותרות מכירות בחסר ואין מיסים ועלויות עסקה.

בכדי להעריך את שווי האופציה במודל Black & Scholes עלינו להשתמש בחמישה פרמטרים המסווגים לקטגוריות הבאות:

נתונים הקשורים לחוזה האופציה:

  • אורך חיי האופציה (המסומן ב T).
  • מחיר המימוש של האופציה (המסומן ב X).

נתונים הקשורים לשוק:

  • ריבית חסרת סיכון (המסומנת ב r).
  • שווי הנוכחי של נכס הבסיס (המסומן ב S).

ונתון המתאר את התפלגות המניה, הוא סטיית התקן התקופתית של תשואת נכס הבסיס (המסומנת ב Stdv).

לאחר שאספנו את כל חמשת הנתונים המבוקשים, נוכל להשתמש במודל Black & Scholes לתמחור אופציות. להלן הנוסחה לחישוב מחיר אופציית Call אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים: 

\[\text{C(x)}=S\cdot N(d_1)-x\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)\]

ועבור אופציית Put אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים:

\[\text{P(x)}=x\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)\]

כאשר:

\(d_1=\frac{ln\left(\frac{S}{X}\right)+\left(r+\frac{\sigma}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\)

\(d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}\)

C(x) – שוויה, היום, של אופציית Call שתוספת המימוש שלה היא x,

P(x) – שוויה, היום, של אופציית Put שתוספת המימוש שלה היא x,

\(N(d_1)\) – ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה \(d_1\),

\(N(d_2)\) – ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה \(d_2\),

S – מחירו כיום של נכס הבסיס,

T – משך הזמן שנותר עד לפקיעת האופציה,

\(\sigma\) – סטיית התקן של מחיר נכס הבסיס,

r – שיעור הריבית שמניב נכס חסר סיכון.

שימו לב כי משך חיי האופציה, סטיית התקן והריבית חסרת הסיכון צריכים להיות נקובים באותם מונחים (במרבית המקרים, במונחים שנתיים).

בפוסטים הבאים ניישם את המודל ונראה איזה שווי מתקבל כאשר מיישמים אותו על שדות גז או נפט, אבל לפני סיום, איך אפשר לסיים בלי אותו סרטון שפרסמתי לפני כמה זמן?

[youtube_sc url=http://www.youtube.com/watch?v=o_UxB6EEqWo]


[1] אופציה אירופאית ניתנת למימוש רק במועד הפקיעה שלה, בעוד אופציה אמריקאית ניתנת למימוש בכל שלב במחזור החיים שלה.

[2] Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.

Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): 637–654.

עדכון קטן-גדול לפרק 10

היי לכולם,

פרק 10 עודכן מעט, ומלבד מספר תיקונים קלים, הוא כולל דוגמה חדשה ונרחבת למצב בו עלינו להעריך פרויקט כאופציה ריאלית, אך הסיכון הטמון בו הוא בחלקו שיטתי ובחלקו ספציפי. אופן ההערכה של פרויקט שכזה מתחיל בתיאור ההפתחות בשווי הפרויקט בשני ממדים, והמסקנות שעולות מהדוגמה מעט מפתיעות.

תהנו :)

שמחים להציג את… פרק 9

אחח, כמה שאני שמח להציג בפניכם את העדכון האחרון שלנו.

פרק 9 עלה לאוויר, ולא מדובר בסתם פרק. הפרק כולל בתוכו את כל השיטות הנוספות הקיימות להערכת שוויה של חברה, כולל דוגמאות מאוד מפורטות ומאוד ידידותיות שמראות כיצד השיטות הללו מתכנסות לשווי שהתקבל עבור אסם בפרק 7, ותחת אילו הנחות זה מתקיים. כפי שתראו, הפרק לא מיועד לכל אחד – התיאוריה היא התיאוריה המוכרת של מודליאני ומילר, אך הטכניקה הנדרשת בשביל להגיע לתוצאות הרצויות סבוכה מעט.

כולם היו בניי, אבל מתוך כל הפרק, אני מאוד גאה בחלקים העוסקים בשיטת ה-APV לחישוב נפרד של שווי מגן המס ובמודל Merton, העוסק בהערכת שוויה של חברה באמצעות מודלים לתמחור אופציות.

מקווה שתאהבו,

ערן

תמחור אופציות ריאליות, חלק ב': שימוש במודל הבינומי

לאחר שקיבלנו בפוסט הקודם מושג כללי אודות אופציות ריאליות, בפוסט זה, בכדי ליישר קו בין אלה שמכירים את התיאוריה שמאחורי חישוב שווי אופציות, ואלה שלא, אסקור את המודל המרכזי לחישוב שוויה של אופציה בעלת מאפיינים גמישים – המודל הבינומי. רק לאחר שנבין כיצד המודל הבינומי עובד נוכל להמשיך ולחשב את שווין של אופציות ריאליות.

מהי אופציית רכש?

אופציית רכש (Call) מאפשרת למחזיק בה את הזכות לרכוש נכס כלשהו, תמורת מחיר קבוע מראש, עד מועד קבוע מראש. בשפה המקצועית, הנכס נקרא "נכס הבסיס", המחיר הוא "תוספת המימוש" והמועד המדובר נקרא "מועד המימוש" (או הפקיעה). למחזיק באופציה ייווצר רווח כאשר מחיר הנכס גבוה מתוספת המימוש, והוא יהיה שווה להפרש ביניהם. נמחיש זאת באמצעות הדוגמא הבאה: נאמר שבידנו אופציית Call על מניה, בעלת תוספת מימוש בגובה 100 ש"ח. כאשר מחירה של המניה גבוה מ-100 ש"ח, נאמר 115 ש"ח, אנו יכולים לממש את האופציה ולמכור אותה בבורסה. "קניית" המניה ב-100 ש"ח ומכירתה תמורת 115 ש"ח יוצרת לנו תקבול (ערך) בגובה 15 ש"ח. מנגד, כאשר מחיר המניה נמוך מ-100 ש"ח לא נוצר לנו כל הפסד כיוון שאנו איננו מחויבים לממש את האופציה. ובצורה גרפית:

הגורמים המשפיעים על אופציית רכש

 ישנם חמישה גורמים מרכזיים המשפיעים על שוויה של אופציית Call. סיכמנו אותם עבורכם בתרשים הבא (נכס הבסיס בו בשם "מניה" לשם הפשטות):

הרציונל שמאחורי החלוקה הוא הבא:

  • עלייה במחיר המניה מגדילה את הרווח שנוצר למחזיק באופציה ולכן מעלה את שוויה.
  • עליה בסטיית התקן של המניה משמעותה שאי-וודאות גדולה יותר אופפת את המניה. מכיוון שמחזיק באופציה Call יכול להימנע מהפסדי המניה שוויה כיום גבוה יותר. חישבו על זה כך: המחזיק באופציה מאוד ייהנה מעלייה במחיר המניה, אך במידה ומחירה יירד אל מתחת לתוספת המימוש ("מחוץ לכסף" בעגה המקצועית) אין זה משנה לו עד כמה מתחת – גם כך הוא יבחר שלא לממש את האופציה!
  • עלייה בשער הריבית. ניתן לחשוב על קניית אופציה כעל קניית המניה בשני תשלומים. התשלום הראשון הוא מחיר האופציה כיום, התשלום השני הוא תוספת המימוש שתידרש אם תמומש האופציה. עלייה בשער הריבית מפחיתה את הערך הנוכחי של התשלום השני, כך שרוכש האופציה מוכן להגדיל את התשלום הראשון (מחיר האופציה) כאשר כל שאר הגורמים נותרים קבועים.
  • עלייה באורך חיי האופציה. ככל שמועד הפקיעה של אופציית Call רחוק יותר, מחירה גבוה יותר משני טעמים. האחד, אי הוודאות גבוהה יותר, מקביל בכך לעלייה בסטיית התקן של המניה. השני, קיטון הערך הנוכחי של תוספת המימוש ("התשלום השני"). כאשר מדובר באופציה אמריקאית, בה המחזיק באופציה יכול לממשה בכל זמן, ישנה סיבה נוספת לעלייה בשוויה של האופציה: כאשר כל התנאים קבועים, אופציה ארוכה יותר מקנה למחזיק בה את כל התנאים של אופציה קצרה יותר, אך גם את האפשרות לדחות את מועד קבלת ההחלטה. לכן, מחירה יהיה לפחות כמו זה של אופציה זהה קצרה יותר.
  • ירידה בתוספת המימוש משמעותה לשלם פחות בעת מועד המימוש של האופציה. כאשר יתר התנאים קבועים הדבר יגרור עלייה בשוויה של האופציה.

במציאות לא ניתן לשנות גורם אחד מהנזכרים מעלה תוך קיבוע של שאר הגורמים. למשל, עליה בשיעור הריבית אמנם מקטינה את הערך הנוכחי של תוספת המימוש הנדרשת (ובכך מגדילה את שווי האופציה), אך גם יכולה להקטין את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים הצפוי מהמניה, מקטינה בכך את שוויה (של המניה). ירידה בשווי המניה משפיעה באופן שלילי על שווי האופציה. לא ניתן לדעת מראש מהי התוצאה הסופית של שתי ההשפעות המנוגדות הללו.

מהי אופציית מכר?

מקבילתה של אופציית הרכש היא אופציית המכר (Put). היא מאפשרת למחזיק בה את הזכות למכור נכס כלשהו, תמורת מחיר קבוע מראש, עד מועד קבוע מראש. בהתאמה, למחזיק באופציה ייווצר רווח כאשר מחיר הנכס נמוך מתוספת המימוש, והוא יהיה שווה להפרש ביניהם. במספרי הדוגמא הקודמת: נאמר שבידנו אופציית Put על מניה, בעלת תוספת מימוש בגובה 100 ש"ח. כאשר מחירה של המניה נמוך מ-100 ש"ח, נאמר 80 ש"ח, אנו לקנות את המניה ולממש את האופציה. קניית המניה ב-80 ש"ח ומכירתה תמורת 100 ש"ח יוצרת לנו תקבול (ערך) בגובה 20 ש"ח. מנגד, כאשר מחיר המניה גבוה מ-100 ש"ח לא נוצר לנו כל הפסד כיוון שאנו איננו מחויבים לממש את האופציה. ובצורה גרפית:

תמחור אופציות באמצעות המודל הבינומי – שיטת ה- Replicating Portfolio

המודל הבינומי הוצג לראשונה ע"י Cox, Ross & Rubinstein בשנת 1979 במאמרם הנודע: Option Pricing: A Simplified Approach.

הרציונל העומד מאחורי המודל הוא ששווי האופציה צריך להיות זהה לשוויו של תיק שיניב במועד הפקיעה תזרים זהה לזו שתניב האופציה. אם נצליח להרכיב תיק "חלופי" שכזה, ונצליח לחשב את שוויו כיום – זה גם צריך להיות מחיר האופציה.

המודל הבינומי, כפי שרומז שמו, אינו משאיר טווח רציף של ערכים אפשריים לשוויו של נכס הבסיס במועד הפקיעה של האופציה. במקום זאת, הוא מניח כי קיימים שני מצבי טבע אפשריים בלבד – כלומר מחיר נכס הבסיס יכול להיות אחד מבין שני ערכים, למשל 115 או 90. לאחר שידועים לנו שתי התוצאות האפשריות, עלינו לתמחר את שווי האופציה כיום. האם חשוב לנו מהי ההסתברות להתרחשותו של כל מצב טבע? באופן מפתיע, התשובה היא לא ואנו נראה זאת כעת.

ניקח למשל אופציית רכש בעלת תוספת מימוש של 100 ש"ח הפוקעת בעוד שנה. כמו-כן, נקבע כי מחירו של נכס הבסיס עומד כיום על 100 ש"ח (כלומר האופציה נמצאת "בכסף") ואנו צופים כי במועד הפקיעה הוא יהיה 115 ש"ח או 90 ש"ח. כפי שניתן לראות, מצב הטבע הראשון הוא חיובי, כלומר יביא עלייה במחיר הנכס, ומצב הטבע השני הוא שלילי.

מה יהיה אם כן שוויה של אופציית הרכש בעוד שנה מהיום?

  • תחת מצב הטבע החיובי, Up, מחירה יעמוד על 15 ש"ח (115-100=15).
  • תחת מצב הטבע השלילי, Down, מחירה יעמוד על 0 ש"ח מאחר ונבחר שלא לממש אותה.

ובצורה גרפית:

כעת, נרצה לבנות אסטרטגיה בה מכירה של אופציית רכש אחת וקניית נתח מסוים מנכס הבסיס תבטיח לנו תקבול ודאי במועד הפקיעה. לשם כך נגדיר פרמטר בשם "דלתא"[1] שיחושב כהפרש בין שווי האופציה בשני מצבי הטבע לבין שווי נכס הבסיס בשני מצבי הטבע. ובמספרים:

\[\Delta=\frac{15-0}{115-90}=0.6\]

 אם נקנה 0.6 יחידות של נכס הבסיס עבור כל אופציית רכש אחת שנמכור מובטח לנו תקבול ודאי במועד הפקיעה. כדי להוכיח זאת (ולמצוא את גובה התקבול), נבדוק מה יהיה שווי האסטרטגיה במועד הפקיעה תחת שני מצבי הטבע האפשריים:

כלומר, מכירת אופציית רכש אחת וקניית 0.6 יחידות של נכס הבסיס תבטיח לנו שווי אחזקות של 54 ש"ח בעוד שנה אחת, ללא תלות בשום גורם! ערכה הנוכחי של שווי האחזקה חייב להיות שווה למחירה של האסטרטגיה הזו כיום, ומכיוון שמדובר בתזרים ודאי, נוכל להוון את תוחלתו באמצעות שיעור הריבית על נכס חסר סיכון. אם נניח כי הריבית הממשלתית עומדת על 8%, נוכל לומר כי:

\[\frac{54}{1.08}=\Delta\times S_0-C \Rightarrow C=0.6\times 100- \frac{54}{1.08} = 10\]

 מחירה כיום של אופציית הרכש המדוברת חייב להיות 10 ש"ח, וזאת ללא קשר לגובה ההסתברות למצבי הטבע השונים. אסטרטגיית הגידור המושלמת שבנינו מייתרת את הצורך לדעת מהי ההסתברות לכל מצב טבע מאחר ואנו צפויים לקבל בכל מקרה את התקבול הוודאי שמצאנו.

ישנה ווריאציה נוספת לשיטת הפתרון הזו, אשר יוצרת את תזרים המזומנים הוודאי בסוף התקופה על ידי תמהיל של נכס הבסיס ואגרת חוב חסרת סיכון אך היא איננה מוסיפה תובנות חדשות בנושא ולכן בחרנו שלא להציג אותה.

דרך נוספת לפתירת המודל הבינומי – שימוש בהסתברות המותאמת לסיכון

ניתן גם לפתור את המודל הבינומי בשיטה נוספת המשתמשת ביחס הקרוי הסתברות מותאמת לסיכון, או באנגלית: Risk-Neutral Probability. ההסתברות הזו היא ההסתברות לתרחיש החיובי בעולם אדיש לסיכון והשימוש בה מאפשר לנו להוון את תוחלת הרווח מהאופציה באמצעות שיעור התשואה שידרוש משקיע אדיש לסיכון – שיעור התשואה על נכס חסר סיכון.

נסביר את כוונתנו באמצעות דוגמה שמשתמשת בנתוני הדוגמה הקודמת. ראשית, נרצה לחשב את ההסתברות המותאמת לסיכון ונסמן אותה מעתה ואילך באות p. [2]תוחלת התשואה שיחווה משקיע אדיש לסיכון היא שקלול ההסתברויות והתקבול שיקבל בשני מצבי הטבע האפשריים, חיובי ושלילי:

\[1+r_f=p\times u + (1-p)\times d\]

כאשר:

p – ההסתברות המותאמת לסיכון למצב טבע חיובי,

u – שווי נכס הבסיס, ביחס למצב המקורי, שישרור במועד הפקיעה תחת התרחיש החיובי,

d – שווי נכס הבסיס, ביחס למצב המקורי, שישרור במועד הפקיעה תחת התרחיש השלילי,

 \(r_f\)- שיעור הריבית שמניב נכס חסר סיכון.

לאחר מספר פעולות חשבוניות פשוטות, מתקבלת הנוסחה המוכרת יותר לחישוב ההסתברות המותאמת לסיכון, p:

\[p=\frac{(1+r_f)-d}{u-d}\]

 לרוב נהוג לסמן את הגודל \((1+r_f)\) באות R כך שהנוסחה המוכרת הינה:

\[p=\frac{R-d}{u-d}\]

 מהי ההסתברות p במספרי הדוגמה הקודמת?

\[p=\frac{1.08-0.9}{1.15-0.9}=0.72\]

כעת, נרצה לחשב את שוויה הנוכחי של אופציית ה-Call ממש כפי שאנו מחשבים את הערך הנוכחי של הגרלה שצפויה להיערך בעוד תקופה: כממוצע משוקלל של התוצאות האפשרויות השונות, מהוונות להיום באמצעות שיעור היוון מתאים. שווי האופציה יהיה לכן:

\[C=\frac{p\times C_{up}+(1-p)\times C_{down}}{1+r_f}=\frac{0.72\times 15+0.28\times 0}{1.08}=10\]

בניגוד לשיטת היוון תזרים מזומנים, שם ההתייחסות לסיכון של הפרויקט נעשית באמצעות שיעור ההיוון (למשל, סיכון גבוה מביא לשיעור היוון גבוה), שיטת ההסתברות המותאמת לסיכון מגלמת את סיכון הפרויקט בתוך ההסתברויות שמשוקללות במחיר האופציה. התוצאה שהתקבלה זהה כמובן לתוצאה שהניבה השיטה הקודמת לפתירת המודל הבינומי, שיטת ה-Replicating Portfolio.

כפי שניווכח בהמשך, יתרונו הגדול של המודל הבינומי נעוץ בגמישותו הרבה. חסרונו נעוץ כמובן בעובדה שהוא מתיר טווח אפשרויות בדיד לשוויו האפשרי של נכס הבסיס. במקרה וחשובה לנו הרציפות במחירים האפשריים של הנכס, אנו נפנה אל המודל המוכר והידוע – מודל Black & Scholes.

פתירת המודל הבינומי – סיכום ביניים

השיטה הראשונה שסקרנו, שיטת ה-Replicating Portfolio, מנחה אותנו ליצור תיק דומה במאפייניו לאופציה שאנו רוצים להעריך את שוויה, ועל סמך טיעון הארביטראז' המפורסם למצוא את שוויה של האופציה. כמו-כן, הזכרנו כי ניתן לבנות את התיק החלופי המדובר בשתי דרכים, האחת – קנייה ומכירה של נכס הבסיס והאופציה, והשנייה – קנייה ומכירה של נכס הבסיס ואגרת חוב ממשלתית. לא משנה באיזה דרך נבחר, טיעון הארביטראז' תקף רק כאשר הנכסים הנדרשים לביצוע האסטרטגיה נסחרים בשוק. אם לא, לא נורא – ההסתברות המותאמת לסיכון נחלצת לעזרתנו, כאשר כאן הנחת היסוד היא שלבעלי המניות של החברה ישנה גישה לנכס "כפיל" בעל פרופיל סיכון זהה (כלומר בעל אותה ביטא) לפרופיל הסיכון של נכס הבסיס עליו נכתבה האופציה.

כלומר, לא משנה באיזה שיטה נבחר, שווי האופציה שיתקבל הוא שוויה אילו הייתה נסחרת, ממש כפי שאנחנו מעריכים את שוויו של פרויקט רגיל באמצעות שיטת ה-DCF – הרי גם בה אנו מהוונים את התקבולים מפרויקט באמצעות שיעור הריבית שאנחנו יכולים להרוויח על פרויקטים זהים לו. הנחת היסוד הזו היא שקושרת בין שיטת ה-DCF ושיטת ההערכה של אופציות.

בפוסטים הבאים אסקור לעומק את הדרכים השונות להערכת שווין של אופציות ריאליות – כולן נסמכות על היסודות התיאורטיים שהנחנו בפוסט זה.

 


[1] לאלו מכם שמכירים את מודל Black & Scholes, זוהי אותה דלתא.

[2] ישנם ספרי מימון שמסמנים את ההסתברות באות q – אין אחידות בנושא הזה.

מחשבון תמחור אגח להמרה

אגח להמרה היא אגרת חוב שניתן, תחת תנאים מסוימים, להמיר למניות של חברה, כך שמדובר למעשה יצור כלאיים שמשלב חוב פיננסי עם הון עצמי, וכאן גם הקושי בחישוב השווי ההוגן של כזו אגח. הרכיב ההוני הוא למעשה אופציית Call אמריקאית, הרכיב החובי יכול להתבטל בכל רגע, בקיצור – בלאגן… האלגוריתם שמאחורי מחשבון זה מבוסס על קוד שכתב פרופסור Jayanth R. Varma, בהסתמך על מאמר מאת Tsiveriotis & Fernandes [ראה הפניה], וניתן להתעמק בסט ההנחות בו הוא השתמש, כמו גם ביישום מורכב יותר של המודל, באתר הבית שלו. הדף נכתב בראש ובראשונה לצרכים חינוכיים, ובהתאם לכך מצורף הדיסקליימר האלמנטרי הקבוע שלנו: אנו בדקנו את האלגוריתם ובטוחים בתוצאותיו, אך יחד עם זאת איננו אחראים לכך שהמודל נקי מטעויות.

מאפייני אגרת החוב











מאפייני המניה





הוסף דיבידנדים בדידים »

מאפיינים של מרכיב ההמרה









חשב

תוצאות

שווי רכיבי האיגרת השונים
שווי כולל:
שווי רכיב החוב:
שווי רכיב האופציה:
תוצאות האופציה
דלתא: [?]:
גמא: [?]:
ווגה: [?]: