פוסטים

תמחור אופציות ריאליות, חלק ח' ואחרון: סיכום ומספר המלצות פרקטיות

בשבעת הפוסטים האחרונים סקרנו לאורך ולרוחב את שיטת תמחור פרויקטים או חברות באמצעות אופציות ריאליות. לפני שנסכם, נתחיל עם מספר המלצות פרקטיות. מודל ה-ROV נחשב לעדיף מבחינה תיאורטית על פני מודל ה-DTA למטרות תמחור האופציות מכיוון שהוא מתמודד בצורה טובה יותר עם הסיכון הגלום בפרויקטים מורכבים כמו אלה שסקרנו בפרק זה. בפרויקטים כאלה, בהם תזרים המזומנים העתידי תלוי בהחלטות שנקבל על סמך מידע שיתגלה לנו בעתיד, לא ניתן להוון באופן פשוט את תזרים המזומנים באמצעות עלות ההון המשוקללת. המקרה היחידי בו תתקיים התכנסות מלאה בין תוצאות מודל ה-ROV ומודל ה -DTA הוא כאשר הסיכון בפרויקט ניתן לפיזור מלא (כלומר כאשר הסיכון הוא ספציפי לחלוטין). במצב שכזה, כיוון שכאשר הביטא שווה לאפס עלות ההון המשוקללת שווה לשיעור התשואה על נכס חסר סיכון והתוצאות שמתקבלות תחת שתי השיטות זהות.
יחד עם זאת, עליונותו התיאורטית של מודל ה-ROV לא תמיד מתממשת גם בפרקטיקה. שיטת ה-ROV תלויה רבות במחיר נכס הבסיס וסטיית התקן של נכס הבסיס; כאשר ניתן לדלות את שני הפרמטרים הללו משווקים פעילים המלאכה נעשית פשוטה יותר, ופרויקטים בעלי מתאם גבוה עם מחירי הסחורות או האנרגיה הם דוגמה למצב שכזה. כאשר לא ניתן להעריך בצורה איכותית את מחיר נכס הבסיס ו/או את סטיית התקן של נכס הבסיס נעדיף להשתמש בשיטת ה-DTA בשל השקיפות שהיא מספקת לנו בעת קביעת שווי הגמישות. (החלק הקשה יהיה כמובן אמידת ההסתברויות. לשם כך, ניתן להסתמך על מידע היסטורי או מאמרים אקדמיים אמפיריים שעוסקים בענף שאותו אנו מעריכים). אדרבה, בדוגמה האחרונה גילינו כי כאשר הסיכון השיטתי איננו משפיע על ההחלטה שתילקח, אין צורך לקחת אותו בחשבון כאשר אנו מעריכים את שווי הפרויקט. במילים אחרות, העליונות התיאורטית של שיטת ה-ROV נעלמת כאשר הנתונים הדרושים ליישומה אינם ניתנים לאמידה מדויקת, או כאשר הסיכון השיטתי איננו מהותי מספיק. לכן, במרבית המקרים נרצה להתרכז בסוג אחד של סיכון, וההחלטה שנקבל תשפיע על המודל שבו נבחר. קביעת סוג הסיכון העיקרי הגלום בפרויקט איננה משימה פשוטה והיא תלויה רבות בשיקול דעתו של מעריך השווי. למשל, ההצלחה של רישיון קידוח נפט תלויה בגודל המאגר שיתגלה (סיכון ספציפי), אך גם במחירי הנפט שישררו בתום הפיתוח (סיכון שיטתי); כיצד אפוא נבחר לנהוג במצב שכזה? תחת ההנחה שאם גודל המאגר יהיה מספק המחיר העתידי של הנפט יקבל חשיבות משנית, כך שמרבית הסיכון הגלום בפרויקט הוא כזה שניתן לפיזור. במקרים מסוג זה, אנו נעדיף את השימוש בשיטת ה-DTA מאחר והיא מספקת למקבלי ההחלטות תובנות בעלות ערך משמעותי, ללא אובדן רב של דיוק בהערכת שוויו של הפרויקט. התרשים הבא מסכם את המלצותינו בנושא זה:

וכעת, לסיכום.

ישנם פרויקטים ששיטת ה-DCF הסטנדרטית איננה כשירה בכדי לטפל במורכבות המובנית שלהם. פרויקטים בהם מידע חדש צפוי להתקבל במהלך חייהם ולהשפיע על עתידם אינם יכולים להיות מוערכים בשיטת ה-DCF מאחר והיא דורשת את הימצאותו של כל המידע הדרוש כאן ועכשיו. למזלנו, התפתחויות בשוויו של פרויקט והחלטות שמתקבלות במהלכו עונות במדויק על מאפייניהן של אופציות רכש ומכר, כך שניתן להיעזר בידע שנצבר בתחום זה ולהשתית אותו על פרויקטים מורכבים מהסוג שמנינו. זה כמובן לא אומר שעלינו לזנוח לגמרי את שיטת ה-DCF – ראשית, שיטת ה-DCF עובדת נהדר עבור פרויקטים שהם "פרות מזומנים" במהותם, כלומר כאשר בהם מחולל השווי העיקרי מצוי בתזרים המזומנים שיניבו ולא באופציה ריאלית שגלומה בהם. שנית, נקודת המוצא בניתוח אופציה ריאלית היא שווי נכס הבסיס, אותו אנו לרוב נעריך באמצעות שיטת ה-DCF.

הבעיות ביישומה של טכניקת האופציות הריאליות אינן טמונות בבסיסה התיאורטי, אלא ביישומה בפרקטיקה. ראשית, ההתפתחות בשווים של נכס הבסיס, תוספת המימוש וגורמים אחרים לא תמיד תהיה ברורה מאליה – המציאות היא דינמית ולא ניתן לתפוס את כל אי-הוודאות שבה באמצעות מספר פרמטרים ומודל, אלגנטי ככל שיהיה. שנית, המתודולוגיה שסקרנו עד כה התעלמה באלגנטיות משאלה חשובה מאין כמוה: מה קורה כאשר המתחרים בענף מחזיקים גם הם באופציות ריאליות? בענפים בהם קיימים שחקנים רבים ולא קיים שחקן אחד שיכול להשפיע באופן מהותי על עקומות ההיצע והביקוש, השיטות שסקרנו בפרק עדיין יתפסו. בענפים שלא, צריך לקחת בחשבון את האינטראקציה שקיימת בין האופציות של כל שחקן, וכאן הניתוח כבר זולג למחוזותיה של תורת המשחקים.

לא הכל שחור כמובן. ניקח למשל חברה ששוקלת ניסיון חדירה אגרסיבי לערב הסעודית, הכולל הקמת מערכי הפצה, הרחבת קווי הייצור וכו' – מהלך בעל NPV שלילי בשל גודלה הקטן של המדינה. ניסיון החדירה לבדו הוא חסר כל היגיון כלכלי, אבל בהנחה שערב הסעודית מהווה ברומטר לשאר העולם הערבי, הפרויקט טומן בחובו אופציית הרחבה בעלת ערך עצום. כלומר, עצם המודעות לקיומה של הגמישות תורם לנו רבות גם אם אנחנו לא יודעים להעריך בצורה מדויקת את שוויה. פרויקטים מפסידים (אך גמישים) יכולים לטמון בחובם הזדמנויות מעניינות בהמשך הדרך וניתוח מאפייני האופציה הגלומה בהם יכול לספק להנהלת החברה תובנות חשובות מאין כמוהן, בדיוק התובנות המבדילות בין מנהל בינוני למנהל גדול.

תמחור אופציות ריאליות, חלק ו': דוגמה מספרית נוספת (DTA)

בפוסט הקודם סקרנו כיצד יש לחשב את שוויו של פרויקט כאשר הסיכון הטמון בו הוא שיטתי במלואו, כאשר באותה דוגמה היה זה מחיר הגז שמופשע מתנודות השוק. כאשר הסיכון הוא שיטתי במלואו, אבל נכס הבסיס נע בצורה סטוכסטית, הערכת שווי הפרויקטים שואבת את המתודולוגיה שלה מזו של בלאק ושולס, כפי שראינו. כעת, נראה לסקור כיצד יש להעריך את שוויו של פרויקט כאשר הסיכון הטמון בו הוא ספציפי לחלוטין, כלומר כזה שאינו קשור כלל לשוק או לתנודות בו.

במקרים בהם הסיכון הספציפי הוא הסיכון הדומיננטי או כאשר נכס הבסיס איננו סחיר, שיטת ה-DTA תהיה השיטה האפקטיבית יותר להערכת שווי הגמישות שגלומה בפרויקט. הגמישות נובעת מיכולת ההנהלה לשלוט בסיכונים הספציפיים או בתוצאות הקשורות אליהם (שכן הם לא יכולים לשלוט בסיכוני השוק) לכן לרוב הערכת ערך הגמישות תנבע מגורם סיכון זה. יישום השיטה מורכב מארבעת השלבים הבאים:

  1. הערכת שווי הפרויקט מבלי להתחשב בגמישות האפשרית,
  2. בניית עץ התרחישים - עבור כל תרחיש, יש לחשב את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים המתאים לו. הערך הנוכחי של התזרים יהיה נכון לזמן אפס, כלומר היום. שיעור ההיוון של ההכנסות הצפויות יהיה עלות ההון המשוקללת של הפרויקט ואילו ההשקעה הראשונית תהוון באמצעות שיעור הריבית על נכס חסר סיכון מכיוון שהיא וודאית.
  3. הכללה  בעץ שבניתם את ההחלטה שצפויה להתקבל עבור כל תרחיש, ואת הערך התזרימי נטו הצפוי בעקבות ההחלטה. זהו עץ ההחלטות.
  4. פתירה מהסוף להתחלה, חשבו את שוויו של הפרויקט כאשר הנהלת החברה יכולה לפעול בהתאם למידע חדש ורלוונטי שמתקבל. ההפרש בין שווי זה לבין השווי בחושב בשלב הראשון הוא שווי הגמישות.
 
חישוב שווי הגמישות בקידוחי 'מירה' ו'שרה'

לפני שנצלול למעמקי האופציות הריאליות, נסקור בקצרה את "דרך הייסורים" שעובר כל שדה גז בטרם נהנה הלקוח הסופי מתנובתו.

שלב הבדיקות הראשוניות: ראשית,  מוגדר שטח גדול המכונה היתר, שבו מתבצעים מבחנים ססמיים ראשונים הקובעים אם קיימים מבנים תת-קרקעיים אשר עשויים להכיל גז או נפט. אם התוצאות מורות על כך שקיימות אינדיקציות חיוביות להימצאות מבנים כאלה במקום, מחלק הממונה את שטח ההיתר לרישיונות קטנים יותר, והשותפות שביצעה את המבחנים בהיתר מקבלת זכות ראשונים עליהם.

שלב הסקר התלת-ממדי: לאחר הבדיקות הראשוניות, נערכים בשטחי הרישיונות סקרים ססמיים תלת-ממדיים. הסקרים הללו נמשכים כשלושה חודשים ועיבוד ופענוח תוצאותיהם אורכים כחצי שנה נוספת. בסיום העיבוד מקבלים המשקיעים הודעה רשמית באשר ההסתברות להימצאות גז טבעי או נפט במקום, ומהי הכמות המוערכת במאגר. בשלב זה מקבלים המשקיעים שלושה אומדנים בנוגע לכמות המשאב החזויה: הכמות הקטנה ביותר שעשויה להיות במאגר (P1), הכמות שהסבירות הכי גבוהה שתימצא (P2) והכמות הגדולה ביותר שעשויה להימצא במאגר (P3).

שלב קידוח האקספלורציה: אם תוצאות הסקר משביעות רצון, מבצעות השותפות קידוח אקספלורציה (היתכנות), הבודק באופן מדויק יותר אם קיימים משאבים במבנה. לקידוח שני חלקים:

  1. מבחני לוגים חשמליים, הקובעים אם יש במקום נפט או גז.
  2. מבני הפקה הבודקים כמה נפט או גז ניתן להפיק ביום, באיזה לחץ הם יכולים לצאת החוצה ומהי איכותם.

את קידוח האקספלורציה הימי מבצעות אסדות קידוח ועלות הקידוח נאמדת בכ-100 מיליון דולרים. בתום הקידוח שוב מקבלים המשקיעים שלושה אומדנים בנוגע לכמות המשאב שבמאגר:

  1. האומדן הנמוך ביותר, הנקרא C1 (ישנה הסתברות של 90% להימצאות כמות גדולה מזו);
  2. האומדן הטוב ביותר, הנקרא C2 (ישנה הסתברות של 50% להימצאות כמות גדולה מזו);
  3. האומדן הגבוה ביותר, הנקרא C3 (ישנה הסתברות של 10% להימצאות כמות גדולה מזו).

הכדאיות הכלכלית של המאגר נעוצה כמובן בתוצאות קידוח האקספלורציה. לאחר שהוא מסתיים, צריכה החברה להחליט האם להמשיך בפיתוח המאגר או לא.

שלב התפעול השוטף: אם הוחלט שקיימת כדאיות כלכלית בפיתוח המאגר, מתחילות השותפות בבניית תשתית להפקה מסחרית. במקרה של גז, הקיים בישראל, מניחות השותפות צינורות מתכת על קרקעית הים, המובילים את הגז אל תחנת קליטה על החוף. מתחנת הקליטה ניתן למכור את הגז בצורתו הטבעית באמצעות צינורות המגיעים ישירות אל הלקוחות (בעיקר מפעלים תעשייתיים ותחנות כוח).
כעת נרצה לחשב את שווי הגמישות בקידוחי 'מירה' ו'שרה' רגע לפני ההשקעה בקידוח האקספלורציה, בהינתן מחיר גז ועלות הפקה ידועים ואי-וודאות באשר לכמות הגז שתימצא, כלומר, הסיכון הטמון בפרויקט הוא כולו ספציפי - אין קשר בין כמות הגז שתימצא וביצועי השוק באותו הזמן. לכן, נעריך את שווי הגמישות בו באמצעות שיטת עץ קבלת ההחלטות (DTA).

 שלב ראשון: חישוב הערך הנוכחי הנקי (NPV) של הפרויקט ללא גמישות

ראשית, עלינו לקבוע את ההסתברות למציאת גז בכל אחד משלבי הבדיקה. נאמר כי ישנה הסתברות של 10% לכך שקידוח האקספלורציה יניב תחזית אופטימית מאוד (מאגר בגודל 6 TCF) ו-90% לכך שהתוצאה תהיה שהתוצאות יהיו מאכזבות (מאגר ריק); תוצאות הקידוח צפויות להתקבל בעוד שנה מהיום ואם יוחלט על פיתוח המאגר, התקבולים צפויים להתקבל שנה לאחר מכן (כלומר שנתיים מהיום); עלות קידוח האקספלורציה הינה 100 מיליון דולרים; ההשקעה הראשונית הנדרשת לצורך הפקת הגז הינה מיליארד דולרים; מחירו של 1 TCF הוא 4 מיליארד דולרים, כאשר שיעור הרווחיות התפעולי עומד על 80%; קצב ההפקה הינו 0.2 TCF בשנה; שיעור ההיוון של הפרויקט הוא 8%; שיעור הריבית אותו נושא נכס חסר סיכון הוא 4%.
נחשב את הערך הנוכחי של תזרים המזומנים בתרחיש האופטימי. אורך החיים של הפרויקט הינו 30 שנים (\frac{6}{0.2}=30). התקבול השנתי הינו 0.64 מיליארד דולרים 4 \times 0.2\times 0.8=0.64. הערך הנוכחי הנקי של התקבולים נכון למועד קבלת תוצאות קידוח האקספלורציה (שנה מהיום), במיליארדי דולרים, הוא:

\text{PV}_\text{Optimistic}=\frac{0.64}{0.08}\times \left(1-\frac{1}{1.08^{30}}\right)=7.205

  שווי המאגר תחת התרחיש המאכזב הוא כמובן אפס. הערך הנוכחי הנקי הסטנדרטי של הפרויקט הינו (במיליוני דולרים):

\text{Standard NPV}=-100-\frac{1,000}{1.04}+0.1\times\frac{7,205}{1.08}+0.9\times 0=-394

 

או ליתר דיוק: הפסד של 394 מיליון דולרים.

 

שלב שני: בניית עץ התרחישים

עץ התרחישים ייראה בצורה הבאה: 

 

 

 שלב שלישי: בניית עץ ההחלטות

מובן שאם קידוח האקספלורציה יניב תחזיות אופטימיות החברה תחליט להשקיע בפרויקט, ואם לא – לנטוש אותו. עץ ההחלטות ייראה אפוא כך:

 

 שלב רביעי: חישוב שווי הגמישות

על-מנת לחשב את שווי הגמישות, נחשב את שווי הפרויקט התלוי, כלומר שווי הפרויקט כאשר באפשרותנו לדחות את הפרויקט על הסף אם קידוח האקספלורציה יניב תוצאות מאכזבות:

\text{Contingent NPV}_\text{Mira&Sarah}=-100+0.1\times\left(-\frac{1,000}{1.04}+\frac{7,205}{1.08}\right)+0.9\times 0=-471

 האפשרות לפעול לאחר קבלת המידע הרלוונטי מעלה את שווי הפרויקט ל-471 מיליון דולרים, 865 מיליון דולרים יותר משווי הפרויקט ללא אותה אפשרות – זהו גם שווי הגמישות הטמונה בפרויקט:

\text{Flexibility}_\text{Mira&Sarah}=471-(-394)=865

טבלת הרגישות הבאה בוחנת את שוויו של הפרויקט תחת הסתברויות שונות לתרחיש חיובי. שימו לב כי משקיעים יכולים להשתמש במתודולוגיה הנ"ל בכדי לגלות את ההסתברות המגולמת במחירי השוק לתרחיש חיובי, ולהחליט האם קיימת הזדמנות השקעה בפרויקט מסוים.

 

שלא במפתיע, שוויו של הפרויקט עולה פלאים ככל שההסתברות למציאת גז עולה. ומה לגבי שווי הגמישות? הבה נבחן כיצד השינויים בהסתברות למציאת כמות גז גבוהה משפיעים על שווי הגמישות:

גם כאן התוצאות אינן מפתיעות; ככל שישנה הסתברות גבוהה יותר למציאת כמות גדולה של גז, האפשרות לעצור את הפרויקט שווה פחות מאחר ולא סביר שננצל אותה.

בפוסט הבא נסקור את המתודולוגיה המתאימה למקרים שבהם הסיכון בפרויקט הוא שיטתי וגם ספציפי, כפי שקורה לא מעט במציאות.

 

תמחור אופציות ריאליות, חלק ג': כמה מילים על מודל בלאק ושולס

לפני שנפרסם מספר פוסטים מרכזיים שילוו אותנו, נרצה לסקור בפוסט קצר את המודל הפופולרי ביותר כיום לתמחור אופציות, המודל של בלאק, שולס ומרטון. בבגדול, המודל הוא למעשה מקרה רציף של המודל הבינומי, כאשר שיטת הפתרון היא שיטת ה-Replicating Portfolio אותה אנו סוקרים בפרק 10. לכן, זה מעט לא אינטואיטיבי שדווקא המודל של בלאק, שולס ומרטון פורסם כשש שנים לפני פרסום המודל הבינומי של Cox, Ross & Rubinstein. כלומר, בערך. Sharpe היה מלמד את עקרונות המודל הבינומי לסטודנטים שלו בסטנפורד עוד בשנות ה-70 המוקדמות, ובכלל לא מעט מתמטיקאים התעסקו עם התנהגות מחירי המניה במקרה הבדיד. בכל אופן, מדובר כנראה בפריצת הדרך הגדולה ביותר בתחום המימון במאה האחרונה, לטעמי גדולה יותר מזו של מודל ה-CAPM. בפוסטים הבאים נחזור לנושא האופציות הריאליות ונסקור דוגמאות מספריות לשימוש במתודולוגיה הזו.

בשנת 1973, בזמן ש- Robert Merton פיתח את הנוסחה לתמחור אופציית Call אירופאית [1], פרסמו גם Fischer Black ו- Myron Scholes את מאמרם בדיוק באותו נושא [2]. ההתפתחויות האלו בתחילת שנות ה- 70 היוו פריצת דרך בתחום תמחור אופציות ועל כך בשנת 1997 הוענק פרס נובל ל-Scholes ו-Merton (Black נפטר בשנת 1995). בבסיס המודל של השלושה (להלן Black & Scholes) ישנן מספר הנחות כדלקמן:

  1. מחיר המניה ניתן לתיאור על ידי תהליך בעל תוחלת וסטיית תקן קבועים (Brownian Motion).
  2. נכס הבסיס אינו מחלק דיבידנד בדיד בהלך חיי אופציה, כלומר, או שנכס הבסיס אינו מחלק דיבידנדים במהלך חיי האופציה או שהדיבידנד שיחלק נכס הבסיס הוא דיבידנד המחולק באופן רציף.
  3. קיים מסחר רציף בנכסי בסיס ואופציות. כלומר, מחיר המניה נע לאורך זמן בצורה רצופה וללא קפיצות.
  4. שיעור הריבית חסרת סיכון קבוע.
  5. "אין חיכוכים", כלומר מותרות מכירות בחסר ואין מיסים ועלויות עסקה.

בכדי להעריך את שווי האופציה במודל Black & Scholes עלינו להשתמש בחמישה פרמטרים המסווגים לקטגוריות הבאות:

נתונים הקשורים לחוזה האופציה:

  • אורך חיי האופציה (המסומן ב T).
  • מחיר המימוש של האופציה (המסומן ב X).

נתונים הקשורים לשוק:

  • ריבית חסרת סיכון (המסומנת ב r).
  • שווי הנוכחי של נכס הבסיס (המסומן ב S).

ונתון המתאר את התפלגות המניה, הוא סטיית התקן התקופתית של תשואת נכס הבסיס (המסומנת ב Stdv).

לאחר שאספנו את כל חמשת הנתונים המבוקשים, נוכל להשתמש במודל Black & Scholes לתמחור אופציות. להלן הנוסחה לחישוב מחיר אופציית Call אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים: 

\text{C(x)}=S\cdot N(d_1)-x\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)

ועבור אופציית Put אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים:

\text{P(x)}=x\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)

כאשר:

d_1=\frac{ln\left(\frac{S}{X}\right)+\left(r+\frac{\sigma}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

C(x) - שוויה, היום, של אופציית Call שתוספת המימוש שלה היא x,

P(x) - שוויה, היום, של אופציית Put שתוספת המימוש שלה היא x,

N(d_1) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_1,

N(d_2) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_2,

S - מחירו כיום של נכס הבסיס,

T - משך הזמן שנותר עד לפקיעת האופציה,

\sigma - סטיית התקן של מחיר נכס הבסיס,

r - שיעור הריבית שמניב נכס חסר סיכון.

שימו לב כי משך חיי האופציה, סטיית התקן והריבית חסרת הסיכון צריכים להיות נקובים באותם מונחים (במרבית המקרים, במונחים שנתיים).

בפוסטים הבאים ניישם את המודל ונראה איזה שווי מתקבל כאשר מיישמים אותו על שדות גז או נפט, אבל לפני סיום, איך אפשר לסיים בלי אותו סרטון שפרסמתי לפני כמה זמן?


[1] אופציה אירופאית ניתנת למימוש רק במועד הפקיעה שלה, בעוד אופציה אמריקאית ניתנת למימוש בכל שלב במחזור החיים שלה.

[2] Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.

Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): 637–654.

עמודים

כלים שימושיים

בהמשך לכתיבת הספר ובמטרה להשביח את הפרקטיקה הנהוגה בארץ הקודש, פיתחנו מספר כלים שימושיים אשר למיטב ידיעתנו אין שני להם. מקווים שתמצאו אותם לעזר. בכל שאלה, הערה ו/או נושא אחר, כולל בקשת כלים נוספים, אתם מוזמנים ליצור עמנו קשר כאן.