פוסטים

תמחור אופציות ריאליות, חלק ה': דוגמה מספרית ראשונה (ROV)

ב-30.6.11 הודיעו בעלות השליטה בשותפויות 'מירה' ו'שרה' כי ישנה הסתברות של 54% לכך שגודל הפוטנציאל הכלכלי יעמוד על כ-6.5 טריליון רגל מעוקב (TCF) של גז טבעי; בדוגמה זו נרצה לחשב את שוויו של רישיון הקידוח אם אכן יתברר שזהו גודלו של המאגר, כלומר, הסיכון נובע כולו משינויים במחירי הגז (סיכון שיטתי). בפוסט הבא, כאשר נסקור את שיטת עץ קבלת ההחלטות, נחשב את שוויו של המאגר תוך התייחסות לכל שלבי הפיתוח של שדה גז, המדדים הרלוונטיים לאמידת גודלו והגמישות בקבלת ההחלטות שקיימת בכל שלב.

מאחר ותוקף הרישיון הוא כשנה, ואין נקודות החלטה במהלך חיי האופציה, נשתמש במודל לתמחור אופציות אירופאיות במקרה הרציף - מודל B&S-M.

שווי נכס הבסיס

שוויו של שדה הגז הוא הערך הנוכחי של סדרת תקבולים קבועים – התקבולים שתקבל השותפות מדי שנה. לשם כך עלינו להחליט על אורך הפרויקט (בשנים), גובה התקבולים ושיעור ההיוון המתאים.
מציאת אורך הפרויקט בשנים - ממוצע קצב ההפקה השנתי בעולם עומד על 0.2 TCF בשנה. כלומר, מרגע תחילת הקידוחים אורך החיים של המאגר יהיה כ-32.5 שנים: \frac{6.5}{0.2}=32.5. מכיוון שחוק הנפט מקנה למחזיקים בזכות ההפקה בלעדיות לתקופה מקסימלית של 30 שנים, זה יהיה אורך חיי הפרויקט מבחינתנו.
מציאת גובה התקבולים – מחיר הגז נקבע בחוזה אישי הנחתם בין הצרכן (ממשלות, מפעלים וכו') לבין שותפות הגז. ממוצע המחירים בשנת 2011 עמד על 4 מיליארד דולרים ליחידת TCF, והמרווח התפעולי הנהוג בענף הוא 80%. גובה התקבול השנתי אמור להיות 0.64 מיליארד דולרים:

0.2\times 4 \times 0.8=0.64 \text{ Billion dollars}

שיעור ההיוון מבוסס על עלות ההון הממוצעת בענף הגז, על פי מאגר הנתונים של פרופסור דמודרן: 8%.
הערך הנוכחי של התקבולים הללו הינו:

\frac{0.64}{0.08}\times \left(1-\frac{1}{1.08^{30}}\right) =7.205 \text{ Billion dollars}

 

תוספת המימוש

הערך הנוכחי של עלות ההפקה מוערך על ידנו בכ-1.8 מיליארד דולר. הערכה זו מתבססת על ניתוח פנימי שביצענו ומטעמי פשטות בחרנו שלא להציגו.

אורך החיים של האופציה

תוקף הרישיונות הוא עד ה- 13.7.2012. לכן, משך החיים שנקבע לאופציה הוא שנה אחת.

סטיית התקן

סטיית התקן היא סטיית התקן של מחירי הגז הטבעי. סטיית התקן הזו צריכה להתאים ליחידות הזמן בהן אנו נוקבים באורך חיי האופציה. הממוצע ההיסטורי של סטיית התקן השנתית של מחירי הגז הוא 50% בקירוב. נשים לב שאנו מניחים שבהינתן שגודל המאגר עומד על כ-6.5 טריליון רגל מעוקב (TCF) של גז טבעי, אי הוודאות היחידה שנותרה נובעת ממחירי הגז הטבעי.

שיעור התשואה על נכס חסר סיכון

נכון למועד ה 30.6.2011, התשואה לפדיון שנשאה אגרת חוב אמריקאית באורך חיים של 30 שנים הייתה 3.8%.

 

סיכום

במקרה וגודל המאגר שיתגלה הוא 6.5 TCF, השווי המתקבל עבור שדות 'מירה' ו'שרה' לפי מודל B&S-M הוא 5.5 מיליארד דולרים.

בפוסט הבא נראה כיצד לחשב את שוויו של הפרויקט כאשר הסיכון הוא ספציפי במלואו, כלומר נשתמש בשיטת ה-DTA, ובהמשך נראה כיצד ניתן לטפל בפרויקט שהסיכון בו נובע משני מקורות, ספציפי ושיטתי.

תמחור אופציות ריאליות, חלק ג': כמה מילים על מודל בלאק ושולס

לפני שנפרסם מספר פוסטים מרכזיים שילוו אותנו, נרצה לסקור בפוסט קצר את המודל הפופולרי ביותר כיום לתמחור אופציות, המודל של בלאק, שולס ומרטון. בבגדול, המודל הוא למעשה מקרה רציף של המודל הבינומי, כאשר שיטת הפתרון היא שיטת ה-Replicating Portfolio אותה אנו סוקרים בפרק 10. לכן, זה מעט לא אינטואיטיבי שדווקא המודל של בלאק, שולס ומרטון פורסם כשש שנים לפני פרסום המודל הבינומי של Cox, Ross & Rubinstein. כלומר, בערך. Sharpe היה מלמד את עקרונות המודל הבינומי לסטודנטים שלו בסטנפורד עוד בשנות ה-70 המוקדמות, ובכלל לא מעט מתמטיקאים התעסקו עם התנהגות מחירי המניה במקרה הבדיד. בכל אופן, מדובר כנראה בפריצת הדרך הגדולה ביותר בתחום המימון במאה האחרונה, לטעמי גדולה יותר מזו של מודל ה-CAPM. בפוסטים הבאים נחזור לנושא האופציות הריאליות ונסקור דוגמאות מספריות לשימוש במתודולוגיה הזו.

בשנת 1973, בזמן ש- Robert Merton פיתח את הנוסחה לתמחור אופציית Call אירופאית [1], פרסמו גם Fischer Black ו- Myron Scholes את מאמרם בדיוק באותו נושא [2]. ההתפתחויות האלו בתחילת שנות ה- 70 היוו פריצת דרך בתחום תמחור אופציות ועל כך בשנת 1997 הוענק פרס נובל ל-Scholes ו-Merton (Black נפטר בשנת 1995). בבסיס המודל של השלושה (להלן Black & Scholes) ישנן מספר הנחות כדלקמן:

  1. מחיר המניה ניתן לתיאור על ידי תהליך בעל תוחלת וסטיית תקן קבועים (Brownian Motion).
  2. נכס הבסיס אינו מחלק דיבידנד בדיד בהלך חיי אופציה, כלומר, או שנכס הבסיס אינו מחלק דיבידנדים במהלך חיי האופציה או שהדיבידנד שיחלק נכס הבסיס הוא דיבידנד המחולק באופן רציף.
  3. קיים מסחר רציף בנכסי בסיס ואופציות. כלומר, מחיר המניה נע לאורך זמן בצורה רצופה וללא קפיצות.
  4. שיעור הריבית חסרת סיכון קבוע.
  5. "אין חיכוכים", כלומר מותרות מכירות בחסר ואין מיסים ועלויות עסקה.

בכדי להעריך את שווי האופציה במודל Black & Scholes עלינו להשתמש בחמישה פרמטרים המסווגים לקטגוריות הבאות:

נתונים הקשורים לחוזה האופציה:

  • אורך חיי האופציה (המסומן ב T).
  • מחיר המימוש של האופציה (המסומן ב X).

נתונים הקשורים לשוק:

  • ריבית חסרת סיכון (המסומנת ב r).
  • שווי הנוכחי של נכס הבסיס (המסומן ב S).

ונתון המתאר את התפלגות המניה, הוא סטיית התקן התקופתית של תשואת נכס הבסיס (המסומנת ב Stdv).

לאחר שאספנו את כל חמשת הנתונים המבוקשים, נוכל להשתמש במודל Black & Scholes לתמחור אופציות. להלן הנוסחה לחישוב מחיר אופציית Call אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים: 

\text{C(x)}=S\cdot N(d_1)-x\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)

ועבור אופציית Put אירופאית, שאיננה מחלקת דיבידנדים:

\text{P(x)}=x\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2)-S\cdot N(-d_1)

כאשר:

d_1=\frac{ln\left(\frac{S}{X}\right)+\left(r+\frac{\sigma}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

C(x) - שוויה, היום, של אופציית Call שתוספת המימוש שלה היא x,

P(x) - שוויה, היום, של אופציית Put שתוספת המימוש שלה היא x,

N(d_1) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_1,

N(d_2) - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה d_2,

S - מחירו כיום של נכס הבסיס,

T - משך הזמן שנותר עד לפקיעת האופציה,

\sigma - סטיית התקן של מחיר נכס הבסיס,

r - שיעור הריבית שמניב נכס חסר סיכון.

שימו לב כי משך חיי האופציה, סטיית התקן והריבית חסרת הסיכון צריכים להיות נקובים באותם מונחים (במרבית המקרים, במונחים שנתיים).

בפוסטים הבאים ניישם את המודל ונראה איזה שווי מתקבל כאשר מיישמים אותו על שדות גז או נפט, אבל לפני סיום, איך אפשר לסיים בלי אותו סרטון שפרסמתי לפני כמה זמן?


[1] אופציה אירופאית ניתנת למימוש רק במועד הפקיעה שלה, בעוד אופציה אמריקאית ניתנת למימוש בכל שלב במחזור החיים שלה.

[2] Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.

Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): 637–654.

עמודים

כלים שימושיים

בהמשך לכתיבת הספר ובמטרה להשביח את הפרקטיקה הנהוגה בארץ הקודש, פיתחנו מספר כלים שימושיים אשר למיטב ידיעתנו אין שני להם. מקווים שתמצאו אותם לעזר. בכל שאלה, הערה ו/או נושא אחר, כולל בקשת כלים נוספים, אתם מוזמנים ליצור עמנו קשר כאן.