כמה מילים על מודל ה-CAPM, חלק א'


כל הפוסטים בסדרה:

אני מאוד אוהב ספרות מימונית. בין אם מדובר במאמר, ספר או פוסט אקראי של דמודרן ודומיו, כמעט תמיד אפשר למצוא בטקסט כלשהו עוד זווית מעניינת על נושאים שלכאורה כבר לא נשאר מה לכתוב עליהם. לאחרונה, יצא לי לחזור ולהתעסק בצדדים התיאורטיים יותר של מודל ה-CAPM, אלה שנידונים לרוב במסגרת קורס תורת ההשקעות של תואר שני, וקצת חרה לי שאין מקום אחד שקיימת בו סקירה טובה ומתומצתת (בעברית) של הספרות המקצועית שפורסמה בנושא החל משנות ה-60. לכן, לקחתי לי כמה שבועות וכתבתי את הסקירה הטובה ביותר שיכולתי על מודל ה-CAPM, הבחינות שנעשו לו ומודלים אלטרנטיביים שקמו לאחריו. ניסיתי שלא להיכנס למתמטיקה המסובכת, אבל צירפתי הפניות לכל המאמרים שמוזכרים כאן, והם לא מעט כפי שתיווכחו בקרוב.

מאז הוצג על-ידי William Sharpe, John Lintner, Jack Treynor & Jan Mossin (הפניה 1) באמצע שנות ה-60, היה מודל ה-CAPM (Capital Asset Pricing Model) למודל הנפוץ ביותר לתמחור נכסים ואף זיכה חלק ממפתחיו בפרס נובל בשנת 1990. המודל נחשב לבסיס בלימודי תורת ההשקעות בכל מוסד אקדמי בשל הפשטות היחסית בה הוא מספק תשובה לשאלה "כמה תשואה אקבל עבור רמת סיכון מסוימת שאני מוכן לקחת על עצמי?". יחד עם זאת, במרוצת השנים קמו לא מעט מחקרים אשר הטילו ספק ביכולתו לאמוד את אותה תשואה מצופה. סדקים ראשונים במודל החלו להיבקע בראשית שנות ה-70, כאשר המודל כשל כשנבחנו התשואות שחזה עבור נכסים מול התשואות שהנכסים ניבו בפועל; לאחר מכן, בשנות ה-80, החלו להתפרסם מחקרים רבים שעסקו בגורמים אחרים בעלי יכולת הסבר לתשואות מלבד תיק השוק. המוכרים שבין אותם גורמים היו רמת המינוף של הפירמה (Bhandari, 1988, הפניה 2), גודלה של הפירמה (Banz, 1981, הפניה 3) והיחס שבין שווי השוק של ההון העצמי של חברה לעומת ערכו בספרים (Stattman, 1980, הפניה 4). מטרתם של שני פוסטים אלו הינה לסקור את המחקרים המרכזיים שנעשו בנושא מאז שפורסם המודל ועד ששכחה ההתלהבות מהעיסוק בו בשנות ה-90 המאוחרות.

מבחנים אמפיריים למודל ה-CAPM, והבעייתיות שבהם

לפני שנדון בתובנות שעלו משורת המאמרים שבחנו את מודל ה-CAPM, ראוי שנסקור את הבעייתיות של המוקדמים שבהם, וכן את המתודולוגיה שבה הם השתמשו. ככלל, המתודולוגיה הקלאסית לבחינה של מודל ה-CAPM כללה שני שלבים. בשלב הראשון, הורצה רגרסיה, שכינויה First Pass Regression, ובה המשתנה המוסבר הינו תשואת המניה והמשתנה המסביר הוא תשואת תיק השוק. הרגרסיה היא מסוג Time Series, שכן וקטור התצפיות כולל את התשואות התקופתיות שהציג תיק השוק לאורך תקופת המדידה, וכן את התשואות התקופתיות שהניבו המניות שנכללו במדגם לאורך אותה התקופה. עבור כל מניה i, שיש בידינו T תשואות היסטוריות שלה ושל תיק השוק, הורצה הרגרסיה הבאה:[5]

r_{i,t}=a_i+b_ir_{m,t}+e_{i,t}

bi, השיפוע של אותה רגרסיה, הוא כמובן האומד לביטא ה"נכונה" של מניה i.

לסיכום, ובהנחה שהמדגם כולל N מניות, השלב הראשון במתודולוגיה בנוי למעשה מהרצה של N רגרסיות, כל רגרסיה עושה שימוש ב-T תצפיות, והתוצר המתקבל הוא N אומדנים לביטאות – אומד אחד עבור כל מניה שנכללה במדגם.

בשלב השני, הורצה רגרסיה מסוג Cross-Sectional, שכינויה Second Pass Regression, ובה המשתנה המוסבר הוא התשואה הממוצעת שהציגה המניה i על פני תקופת המדידה והמשתנה המסביר הוא הביטא שנאמדה בשלב הראשון – bi. כלומר, אנו רוצים לבחון כעת האם הביטא שחושבה בשלב הראשון יכולה להסביר את התשואה הממוצעת שהושגה במהלך אותה תקופה. מספר התצפיות ברגרסיה השנייה הוא N, כמספר המניות שנכללו במדגם.

\bar{r}_i=\gamma_0+\gamma_1b_i+\nu_i

משוואת השלב השני היא למעשה משוואת ה-SML שסקרנו במהלך הפרק, ולכן, אם מודל ה-CAPM מתקיים, הצפי הוא שהאומד לחותך יהיה שווה לתשואה הממוצעת של נכס חסר סיכון לאורך תקופת המדידה והאומד לשיפוע יהיה שווה לפרמיית הסיכון. בלינק הבא תוכלו למצוא קובץ אקסל המדגים את היישום של המתודולוגיה הקלאסית הזו לבחינת מודל ה-CAPM עבור 10 מניות אמריקאיות, כאשר תיק השוק הנבחר הוא מדד ה- S&P 500.

Miller & Scholes (1972) מספקים במאמרם סקירה מקיפה של הבעיות במתודולוגיה הקלאסית, המרכזית שבהן היא בעיית המדידה של הביטא.[7] הביטא הנאמדת בשלב הראשון היא למעשה אומדן של הביטא "האמיתית" של כל מניה; למרות שהאומדן הזה אמור להיות חסר הטיה, עדיין יכולה להיתכן טעות במדידה שלו, וכך, גם אם מודל ה-CAPM מתקיים ולכל מניה אכן קיימת ביטא "נכונה", תוצאות הרגרסיה השנייה יהיה מוטות – החותך, שאמור לייצג את הריבית חסרת הסיכון, יהיה מוטה כלפי מעלה, ואילו השיפוע, שאמור לייצג את פרמיית הסיכון, יהיה מוטה כלפי מטה.[8] ואכן, עד היום, ברובם המכריע של המבחנים הנעשים למודל ה-CAPM, תוצאות הרגרסיה בשלב השני מצביעות על חותך גבוה יותר ושיפוע נמוך יותר מזה המצופה.

הבעיה השנייה שנגרמת כתוצאה מטעות המדידה האפשרית מתקשרת למבחן שביצע Douglas (1968), בו הוא בחן האם יש לשאריות מרגרסיית השלב הראשון יכולת הסבר לתשואת הנכס, בנוסף לביטא שנאמדה בשלב הראשון; כלומר, הוא הוסיף לרגרסיית השלב השני משתנה מסביר נוסף – השאריות מהשלב הראשון.[9] Douglas מצא כי בניגוד לצפי, השאריות מסבירות חלק מהתשואה של השלב השני, והתוצאה הזו מובהקת ברמה של 99%. Miller & Scholes טוענים כי מאחר והביטא האמיתית מתואמת באופן חיובי עם השאריות, אם נכלול את השאריות ברגרסיית השלב השני נקבל כי יש לשאריות מתאם סטטיסטי עם התשואות, אבל רק בגלל שהן "נציגות" של הביטא האמיתית, שאנו לא יודעים מהי והיא איננה נכללת ברגרסיית השלב השני. במילים אחרות, אם היינו מצליחים לכלול את הביטא האמיתית בשלב השני, ולא אומדן שלה, המתאם הסטטיסטי של השאריות עם התשואות היה נעלם. ואכן, כאשר Black, Jensen & Scholes (1972) קיבצו את המניות במדגם שלהם לעשירונים, ובחנו כיצד מודל ה-CAPM מסביר את התשואה העודפת של כל עשירון, נמצא כי התוצאות אכן משביעות רצון, כנראה בגלל שטעות האמידה מהשלב הראשון מתבטלת כאשר מצרפים מספר מניות לקבוצה אחת.[10]

Fama & McBeth (1973) לקחו את השימוש בתיקים צעד אחד רחוק יותר. הם העריכו את ביטת השלב הראשון עבור 20 תיקים, ולאחר מכן הריצו את רגרסיית השלב השני עבור החודש העוקב לתקופת המדידה של רגרסיית השלב הראשון. הם חזרו על התהליך הזה לאורך 1935-1968, כאשר רגרסיית השלב השני שנאמדה הייתה הבאה:

\tilde{R}_{it}=\hat{\gamma}_{ot}+\hat{\gamma}_{1t}\beta_i-\hat{\gamma}_{2t}\beta_i^2+\hat{\gamma}_{3t}S_{ei}+\epsilon_{it}

האמידה של רגרסיית השלב השני עבור כל חודש מאפשרת לבחון לא רק את גודלם של הפרמטרים, אלא גם את התנהגותם על פני תקופת המדידה, מאחר ורגרסיית השלב השני הורצה עבור כל חודש בין ינואר 1935 ועד יוני 1968. על כל פנים, מתודולוגיית המחקר המרכזית הייתה לבדוק האם הערך הממוצע של כל פרמטר שונה באופן מובהק מאפס, כאשר התוצאות המצופות הינן:

  • ישנו מתאם חיובי בין סיכון ותשואה - E(\hat{\gamma}_{1t}) data-recalc-dims=0" />,
  • הקשר בין ביטא והתשואה הינו קשר ליניארי - E(\hat{\gamma}_{2t})=0,
  • השאריות מהשלב הראשון אינן מסבירות את התשואה -  E(\hat{\gamma}_{3t})=0.

נתחיל מההשערה האחרונה. Fama & McBeth מצאו כי לשאריות אין יכולת הסבר לתשואות, כנראה בגלל שטעות המדידה שלהם פחות מהותית מזו של Douglas (1968), עקב השימוש בביטאות של תיקים ולא של מניות בודדות. במילים אחרות, כשהביטא "הנכונה" נמדדת בצורה טובה יותר, השאריות מהרגרסיה הראשונה כבר אינן משחקות תפקיד בהסברת התשואות. תוצאה זו עקבית עם טענתם של Miller & Scholes.

שנית, הם מצאו כי גם לביטא בריבוע אין יכולת הסבר לתשואות, בהתאם למצופה, כלומר היחס בין ביטא ותשואה הוא יחס ליניארי. המסקנה השלישית שלהם היא שממוצע החותכים גדול באופן מובהק משיעור הריבית חסרת הסיכון ושהממוצע של גמא1 (הפרמטר הצמוד לביטא) גדול באופן מובהק מאפס, אך קטן מפרמיית הסיכון ההיסטורית, כלומר, רגרסיית השלב השני שלהם הניבה חותך גבוה ושיפוע נמוך מזה המצופה. כמו-כן, Fama & McBeth בדקו האם לשאריות מרגרסיית השלב השני של תקופה אחת יש יכולת הסבר לתשואה של תקופה עוקבת, ומצאו כי התשובה לכך שלילית, בהתאם להנחות מודל ה-CAPM.

המוני מחקרים שחזרו באופן כזה או אחר את המתודולוגיה של Fama & McBeth לצורך בחינת מודל ה-CAPM, ורובם הגיעו למסקנות דומות. Fama & French (2004) למשל, שחזרו את המתודולוגיה, עם רגרסיית שלב שני בצורתה הקלאסית (כלומר היא כללה רק את הביטא כמשתנה מסביר), עבור כל המניות שנסחרו בבורסה האמריקאית בין השנים 1928-2003.[11] התוצאות שקיבלו היו דומות לתוצאות שקיבלו מחקרים אחרים שנעשו בנושא, ועיקרן הוא SML גבוה ומתון יותר מזה המצופה, כפי שניתן לראות בתרשים הבא:

כך, למשל, התשואה המצופה מהתיק בעל הביטא הנמוכה ביותר היא 8.3% בעוד התשואה בפועל הייתה 11.1%, והתשואה המצופה מהתיק בעל הביטא הגבוהה ביותר היא 16.8% בעוד התשואה בפועל הייתה 13.7%.

מאמרם של Fama & McBeth מהווה אבן דרך בכל הקשור לבחינה אמפירית של מודל ה-CAPM וכמעט כל מאמר שנכתב לאחריו שאב ממנו השראה. לכן, למרות שהספרות המקצועית בנושא ענפה למדי, אנו נסיים כעת את סקירת המבחנים האמפיריים שנעשו ל-CAPM ונפנה לביקורת שנכתבה על אותם מבחנים.

במאמרו פורץ הדרך משנת 1977, כתב Richard Roll את מה שזכה מאז לכינוי Roll's Critique.[12] במרכז המאמר, Roll מביא שתי טענות עיקריות, שהשילוב שלהן שומט למעשה את השטיח שמתחת לרגלי כל המבחנים האמפיריים שנעשו וייעשו למודל ה-CAPM. ראשית, Roll מוכיח כי כאשר תיק השוק בו משתמשים ברגרסיית השלב הראשון הינו תיק יעיל במונחי תוחלת-שונות (כלומר הוא נמצא על המעטפת), רגרסיית השלב השני לעולם תניב תוצאות שעומדות בקנה אחד עם מודל ה-CAPM.[13] לכן, בחינה של מודל ה-CAPM שקולה לבחינה של מידת היעילות של תיק השוק הנבחר. הטענה השנייה של Roll הינה שכל בחינה שכזו היא פחות-או-יותר חסרת כל ערך, מאחר ואין בידינו מידע אודות תיק השוק האמיתי. למשל, מרבית המחקרים עושים שימוש במדד ה-S&P 500 כ"מייצג" (Proxy) של תיק השוק, אבל ברור לכל שהוא איננו כולל את כל הנכסים בעולם, כפי שנדרש מתיק השוק על פי מודל ה-CAPM. לכן, Roll טוען כי כל בחינה שתיעשה למודל ה-CAPM הינה בחינה למידת היעילות של ה-Proxy לתיק השוק, והתוצאות שיתקבלו אינן מעידות על מידת היעילות של תיק השוק האמיתי (ואמיתות ה-CAPM הנובעת ממנה). כלומר, ייתכן וה-Proxy לתיק השוק יימצא יעיל, בעוד שתיק השוק האמיתי איננו יעיל, וייתכן שה-Proxy לתיק השוק יימצא לא יעיל, בעוד שתיק השוק האמיתי דווקא כן. פרופ' אבנר קלעי מאוניברסיטת תל-אביב נוהג לסכם בשיעוריו את נושא זה עם האמרה כי "מאז ועד היום, אנו שרויים בעלטה"; אנו נאמץ השקפה זו, ונפנה כעת אל מודלים אלטרנטיביים שפורסמו בנושא זה.[14]

כעת, לאחר שדיברנו מעט על המבחנים האמפיריים שבוצעו למודל ה-CAPM, ועל הביקורות שנכתבו עליהם, בפוסט הבא אסקור כמה מודלים אלטרנטיביים שפותחו, וחשוב מכך - התובנות העולות מהם.


[1] Lintner, John. 1965. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics. 47:1, pp. 13–37.

Mossin, Jan. "Equilibrium in a Capital Asset Market, "Econometrica,34 (Oct. 1966) pp. 768-784.

Sharpe, William F. 1964. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance. 19:3, pp. 425–42.

[2] Bhandari, Laxmi Chand. 1988. “Debt/Equity Ratio and Expected Common Stock Returns: Empirical Evidence.” Journal of Finance. 43:2, pp. 507–28.

[3] Banz, Rolf W. 1981. “The Relationship Between Return and Market Value of Common Stocks.” Journal of Financial Economics. 9:1, pp. 3–18.

[4] Stattman, Dennis. 1980. “Book Values and Stock Returns.” The Chicago MBA: A Journal of Selected Papers. 4, pp. 25–45.

[5] בהמשך נראה כי היו מחקרים בהם המשתנה המסביר היה שונה מתשואת תיק השוק, אך הרעיון הכללי נשאר זהה.

[7] Miller, Merton and Myron Scholes. 1972. “Rates of Return in Relation to Risk: A Reexamination of Some Recent Findings,” in Studies in the Theory of Capital Markets. Michael C. Jensen, ed. New York: Praeger, pp. 47–78.

[8] הוכחה ידידותית לכך ניתן למצוא בספרם של Elton, Gruber, Brown & Goetzmann.

[9]  Douglas, George W. 1968. Risk in the Equity Markets: An Empirical Appraisal of Market Efficiency. Ann Arbor, Michigan: University Microfilms, Inc.

[10] Black, Fischer, Michael C. Jensen and Myron Scholes. 1972. “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests,” in Studies in the Theory of Capital Markets. Michael C. Jensen, ed. New York: Praeger, pp. 79-121.

נציין כי המתודולוגיה של Black, Jensen & Scholes הייתה מעט יותר מתקדמת מהמתודולוגיה הקלאסית שסקרנו קודם לכן.

[11] Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. 2004. "The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence." Journal of Economic Perspectives, 18(3): 25–46.

[12] Roll, Richard (March 1977), "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory", Journal of Financial Economics 4 (2): 129–176,

[13] תוכלו למצוא הדגמה לכך בקובץ האקסל הבא.

[14] יש לציין כי לא כולם סבורים שמסקנותיו של Roll בעלות השפעה חזקה כל כך על הניסיונות לבחון וליישן את מודל ה-CAPM. ביניהם, ניתן למנות את Eugene Fama ו-Kenneth French, דווקא מגדולי האופוזיציונרים למודל ה-CAPM.

2 תגובות
  1. אבי ג.
    אבי ג. says:

    ציטוט: "קיבצו את המניות במדגם שלהם לעשירונים, ובחנו כיצד מודל ה-CAPM מסביר את התשואה העודפת של כל עשירון, נמצא כי התוצאות אכן משביעות רצון..........." סוף ציטוט.

    האם הניסיון של בלייק, ג'נסן ושולס לקבץ את המניות לקבוצות ולבחון את מודל ה- CAPM והתוצאות שקבלו , לא מחזקות את השיטה של פרופ' דאמודראן של Bottom Up Beta שבה מתחילים עם הביטא של הסקטור (עשירון) ועושים התאמות קטנות (לפי הצורך) כדי לקבל ביטא נכונה יותר (שתוכל לתת תחזית יותר טובה של התשואה) ??

    הגב
    • ערן
      ערן says:

      לא כל כך. ראשית, אני לא בטוח שלדמודרן יש את זכות הראשונים על השיטה הזו, אבל בלי קשר לזה, שיטת ה-Bottom Up Beta היא פשוט שיטה שבאה לאמוד את ביטת הנכסים של החברה באמצעות ביטאות הנכסים של חברות דומות, כלומר, כמו בשיטת המכפילים, אנחנו מנסים לאמוד גודל "נכון" באמצעות מדגם (ומובן שגם כאן ישנה תחלופה בין גודל המדגם, שככל שהוא גדל סטיית התקן נמוכה יותר, שזה טוב, ובין מידת ההתאמה שלו לחברה המוערכת, שיורדת ככל שהוא גדל).
      שנית, אמנם בעיות האמידה של ה-CAPM נעלמות כאשר מדובר על תיקים, אבל זה לא ש-BJS קיבלו תוצאות משביעות רצון - גם הם קיבלו ישר SML מתון מהמצופה, ובעל חותך גבוה מהמצופה, כנראה בגלל הגורמים ש-Fama & French כן לוקחים בחשבון.
      כלומר, מה שאני בא לומר הוא ששיטת ה-Bottom Up היא פשוט דרך לאמוד את ביטת הנכסים ה"אמיתית" של החברה. אם מלאך היה יורד אלי מהשמיים ומגלה לי את ביטת הנכסים, לא הייתי משתמש בשיטת ה-Bottom Up, אבל סביר להניח שמודל ה-CAPM עדיין לא היה עובד.

      הגב

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *